三、解答题
13. 求下列各式中的x：
（1）$4x^2=81$；
（2）$(x+1)^3 -27=0$。
答案：解：
(1) 对$4x^2=81$变形，得
$x^2=\frac{81}{4}$，
由平方根的定义，得
$x=\pm\sqrt{\frac{81}{4}}$，
即$x_1=\frac{9}{2}$，$x_2=-\frac{9}{2}$。
(2) 对$(x+1)^3 -27=0$移项，得
$(x+1)^3=27$，
由立方根的定义，得
$x+1=\sqrt[3]{27}=3$，
解得$x=2$。
14. 比较下列每组数的大小：
(1) $\sqrt{5}$与2.5；
(2) $\sqrt[3]{-25}$与$-3$；
(3) $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$与$\frac{1}{2}$。
答案：解：
(1) 因为$(\sqrt{5})^2=5$，$2.5^2=6.25$，
又$5＜6.25$，且$\sqrt{5}＞0$，
所以$\sqrt{5}＜2.5$。
(2) 因为$(\sqrt[3]{-25})^3=-25$，$(-3)^3=-27$，
又$-25＞-27$，
所以$\sqrt[3]{-25}＞-3$。
(3) 因为$\sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，
所以$\sqrt{5}-1＞2-1=1$，
所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
15. 如图，面积为x的正方形的一个顶点和数轴上表示－1的点重合，一条边落在数轴上，其另一个顶点与数轴正半轴上的点A重合，求点A表示的数。
答案：解：
∵ 正方形的面积为x，且边长为正数，
∴ 正方形的边长为$\sqrt{x}$。
由题意可知，点A与数轴上表示$-1$的点的距离等于正方形的边长$\sqrt{x}$，且点A在表示$-1$的点的右侧，
∴ 点A表示的数为 $\sqrt{x} - 1$。
16. 如图,在正方形方格纸中,每个小正方形的边长都是1.
(1) 以数轴的原点为圆心,正方形ABCD的边AB为半径画弧,与数轴正半轴交于点E,点E表示的数是什么?
(2) 通过正方形ABCD,找到数轴上表示$\sqrt{10}$的点.
(3) 请用类似的方法在数轴上画出表示$\sqrt{8}$的点.
答案：解：
(1) 由题意得点A为数轴原点，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
由作图可知$OE=AB=\sqrt{5}$，
因此点E表示的数是$\sqrt{5}$。
(2) 连接正方形ABCD的对角线AC，
在正方形ABCD中，$∠ ABC=90°$，$AB=BC=\sqrt{5}$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{10}$，
以数轴原点为圆心，AC的长为半径画弧，与数轴正半轴的交点，即为数轴上表示$\sqrt{10}$的点。
(3) 构造两条直角边长均为2的格点直角三角形，由勾股定理得该直角三角形的斜边长为$\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$，以数轴原点为圆心，该斜边的长为半径画弧，与数轴正半轴的交点，即为数轴上表示$\sqrt{8}$的点。
