在平面直角坐标系中,对于点$A(x,y)$,若点$B$的坐标为$(kx+y,x-ky)$,则称点$B$为$A$的“$k$级牵挂点”,如点$A(2,5)$的“$2$级牵挂点”为$B(2×2+5,2-2×5)$,即$B(9,-8)$.
(1) 已知点$P(-5,1)$的“$-3$级牵挂点”为$P_1$,求点$P_1$的坐标,并写出点$P_1$到$x$轴的距离;
(2) 已知点$Q$的“$4$级牵挂点”为$Q_1(5,-3)$,求点$Q$的坐标及所在象限.
答案：解：
(1) 已知点$P(-5,1)$，$k=-3$，根据“$k$级牵挂点”的定义：
横坐标为 $kx+y = -3×(-5)+1 = 16$，
纵坐标为 $x-ky = -5 - (-3)×1 = -2$，
∴点$P_1$的坐标为$(16,-2)$。
点$P_1$到$x$轴的距离为$|-2|=2$。
(2) 设点$Q$的坐标为$(x,y)$，由题意$k=4$，$Q_1(5,-3)$，可得方程组：
$\begin{cases}4x + y = 5 \\x - 4y = -3\end{cases}$
将第一个方程两边同乘4，得$16x +4y =20$，
与第二个方程相加，得$17x=17$，解得$x=1$，
把$x=1$代入$4x+y=5$，得$4+y=5$，解得$y=1$。
∴点$Q$的坐标为$(1,1)$，点$Q$在第一象限。
解析：
【分析】
本题围绕“k级牵挂点”的新定义展开，解题核心是准确理解该定义的坐标运算规则：若原点点坐标为$(x,y)$，则对应k级牵挂点的横坐标为$kx+y$，纵坐标为$x-ky$。
(1) 属于正向运算题，已知原点点$P$的坐标和$k$值，直接代入定义公式分别计算横、纵坐标，即可得到$P_1$的坐标；点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，据此计算即可。
(2) 属于逆向运算题，已知牵挂点$Q_1$的坐标和$k$值，先设原点点$Q$的坐标为$(x,y)$，根据定义列二元一次方程组，解方程组得到$x$、$y$的值即得$Q$的坐标，再根据横、纵坐标的正负判断所在象限。
【解析】
(1) 已知点$P(-5,1)$，$k=-3$，根据“$k$级牵挂点”的定义：
横坐标为 $kx+y = -3×(-5)+1 = 16$，
纵坐标为 $x-ky = -5 - (-3)×1 = -2$，
∴点$P_1$的坐标为$(16,-2)$。
点$P_1$到$x$轴的距离为纵坐标的绝对值，即$|-2|=2$。
(2) 设点$Q$的坐标为$(x,y)$，由题意得$k=4$，对应牵挂点$Q_1(5,-3)$，根据定义可列方程组：
$\begin{cases}4x + y = 5 \\x - 4y = -3\end{cases}$
将第一个方程两边同乘4，得$16x +4y =20$，
与第二个方程相加消去$y$，得$17x=17$，解得$x=1$，
把$x=1$代入$4x+y=5$，得$4+y=5$，解得$y=1$。
∴点$Q$的坐标为$(1,1)$，横、纵坐标均为正，故点$Q$在第一象限。
【答案】
(1) $P_1$的坐标为$(16,-2)$，到x轴的距离为2；
(2) $Q$的坐标为$(1,1)$，在第一象限。
【知识点】
新定义问题，二元一次方程组的应用，平面直角坐标系点的特征
【点评】
本题是典型的新定义类题型，解题关键是准确理解新定义的坐标变换规则，正向计算时代入数值要注意符号，逆向求解时要正确列出方程组并准确计算，整体考查基础知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.8
