【分析】
(1) 要判断$BH$与$AC$是否相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导：首先由$CD⊥AB$、$∠ABC=45°$可得$△ BDC$是等腰直角三角形，得到$BD=CD$；再根据同角的余角相等推出$∠HBD=∠ACD$，结合两个三角形的直角相等的条件，即可用ASA证明$△ BDH≌△ CDA$，进而得到两条线段相等的结论。
(2) 要证明平方差形式的等式，可结合勾股定理分析：首先连接辅助线$CG$，由$F$是$BC$中点、$BD=CD$可知$DF$是$BC$的垂直平分线，可得$BG=CG$；再由$BE⊥AC$且$∠ABE=∠CBE$，可证$△ ABE≌△ CBE$，得到$AE=CE$；最后在$\mathrm{Rt}△ CGE$中利用勾股定理，将$CG$替换为$BG$、$CE$替换为$AE$，即可得到待证结论。
【解析】
(1) $BH=AC$，证明如下：
$\because CD⊥ AB$，$∠ ABC=45°$，
$\therefore △ BDC$是等腰直角三角形，
$\therefore BD=CD$。
$\because BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ A + ∠ ABE=90°$，
又$\because CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ A + ∠ ACD=90°$，
$\therefore ∠ ABE=∠ ACD$，即$∠ HBD=∠ ACD$。
在$△ BDH$和$△ CDA$中：
$\begin{cases}∠ BDH=∠ CDA=90° \\BD=CD \\∠ HBD=∠ ACD\end{cases}$
$\therefore △ BDH ≌ △ CDA(\mathrm{ASA})$，
$\therefore BH=AC$。
(2) 证明：
连接$CG$。
$\because F$是$BC$的中点，$BD=CD$，$CD⊥ AB$，
$\therefore DF$垂直平分$BC$，
$\therefore BG=CG$。
$\because BE⊥ AC$，$∠ ABE=∠ CBE$，$BE=BE$，
$\therefore △ ABE ≌ △ CBE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AE=CE$。
在$\mathrm{Rt}△ CGE$中，由勾股定理得：
$CG^2 - GE^2 = CE^2$，
将$BG=CG$，$CE=AE$代入得：
$BG^2 - GE^2 = AE^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BH=AC}$；
(2) $\boldsymbol{BG^2 - GE^2 = AE^2}$，证明成立。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是三角形综合应用题，解题的核心是熟练掌握全等三角形的判定方法，通过线段等量代换转化问题；第二问通过构造辅助线，结合勾股定理完成代换即可求证，对逻辑推理能力和几何知识综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 要证明∠AFE=60°，首先利用等边三角形的性质得到等边三角形三边相等、内角均为60°，结合已知BD=CE，可先证△ABD和△BCE全等，得到对应角∠BAD=∠CBE；再利用三角形外角的性质，将∠AFE转化为∠BAD与∠ABF的和，等量代换后即可得到∠AFE等于等边三角形的内角60°。
(2) 已知AG⊥BE，结合(1)得出的∠AFE=60°，可在Rt△AFG中利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出AF的长度，再结合DF的长度求出AD的长度，最后根据全等三角形对应边相等的性质，得到BE=AD即可求出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC，∠ABD=∠C=60°。
在△ABD和△BCE中：
$\begin{cases}AB=BC \\∠ABD=∠C \\BD=CE\end{cases}$
∴ △ABD ≌ △BCE（SAS），
∴ ∠BAD=∠CBE。
∵ ∠AFE是△ABF的外角，
∴ ∠AFE=∠BAD + ∠ABF，
∴ ∠AFE=∠CBE + ∠ABF=∠ABC=60°，
即∠AFE=60°。
(2) 解：
∵ AG⊥BE，
∴ ∠AGF=90°。
∵ ∠AFE=60°，
∴ ∠FAG=90°-60°=30°，
在Rt△AFG中，30°角∠FAG所对的直角边为GF，
∴ AF=2GF=2×4=8，
∴ AD=AF+DF=8+1=9。
由(1)中△ABD ≌ △BCE，得BE=AD=9。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{9}$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形综合基础题，解题核心是熟练掌握全等三角形的判定方法，以及等边三角形、含30°角直角三角形的性质，要注意两小问的关联性，直接利用第一问的结论可快速求解第二问。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）要证明$AB+BD＞AC+CD$，可先分别比较$AB$与$AC$、$BD$与$CD$的大小关系。已知AE是$△ ABC$的高，可得四个直角三角形，通过勾股定理分别表示四条线段的平方，结合$BE＞CE$的条件，推导得到$AB＞AC$、$BD＞CD$，两个不等式相加即可得到结论。
（2）要证明$AB+CD＜AC+BD$，直接利用现有线段难以推导，可借助轴对称转化相等线段：因为AE垂直BC，作点C关于AE的对称点$C'$，则$C'$落在BE上，根据轴对称性质可得$AC'=AC$，$DC'=DC$，再利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”，将相关线段组合整理，代入等量关系即可得到结论。
【解析】
(1)
∵ AE是$△ ABC$的高，
∴ AE⊥BC，即$∠ AEB=∠ AEC=∠ DEB=∠ DEC=90°$。
在Rt$△ ABE$中，由勾股定理得：$AB^2 = BE^2 + AE^2$，
在Rt$△ ACE$中，由勾股定理得：$AC^2 = CE^2 + AE^2$，
两式作差得：$AB^2 - AC^2 = BE^2 - CE^2$。
∵ $BE ＞ CE$，
∴ $BE^2 ＞ CE^2$，
∴ $AB^2 - AC^2 ＞ 0$，即$AB^2 ＞ AC^2$。
又
∵ AB、AC均为正数，
∴ $AB ＞ AC$。
同理，在Rt$△ DBE$和Rt$△ DCE$中：
$BD^2 = BE^2 + DE^2$，$CD^2 = CE^2 + DE^2$，
∴ $BD^2 - CD^2 = BE^2 - CE^2 ＞ 0$，即$BD^2 ＞ CD^2$。
∵ BD、CD均为正数，
∴ $BD ＞ CD$。
将$AB ＞ AC$和$BD ＞ CD$两式相加，得：
$AB + BD ＞ AC + CD$。
(2) 作点C关于直线AE的对称点$C'$，
∵ AE⊥BC，$BE ＞ CE$，
∴ 点$C'$落在线段BE上，连接$AC'$、$DC'$。
由轴对称的性质可得：$AC' = AC$，$DC' = DC$。
设BD与$AC'$交于点O，
在$△ AOB$中，由三角形两边之和大于第三边得：$AO + BO ＞ AB$，
在$△ DOC'$中，同理得：$DO + C'O ＞ DC'$。
将两式相加，得：
$AO + BO + DO + C'O ＞ AB + DC'$，
即 $(AO + C'O) + (BO + DO) ＞ AB + DC'$，
∴ $AC' + BD ＞ AB + DC'$。
将$AC'=AC$，$DC'=CD$代入上式，得：
$AC + BD ＞ AB + CD$，
即 $AB + CD ＜ AC + BD$。
【答案】
(1) $AB+BD＞AC+CD$得证；
(2) $AB+CD＜AC+BD$得证。
【知识点】
勾股定理，轴对称的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是几何证明综合题，第一问较为基础，通过勾股定理即可直接推导线段大小关系；第二问需要通过构造轴对称转化线段，考察了辅助线的构造思路和对三角形三边关系的灵活运用，是三角形模块的典型题型。
【难度系数】
0.6