三、解答题
15. 计算：$\sqrt[3]{8} - (\sqrt{3})^2 + \sqrt{25}$
答案：解：
原式$=2 - 3 + 5$
$=4$
解析：
【分析】
本题是实数的混合运算类题目，解题思路如下：首先需要明确每一项的运算类型，分别计算出每一项的结果后，再按从左到右的顺序进行加减运算即可。第一步计算立方根：$\sqrt[3]{8}$是求8的立方根，因为$2^3=8$，所以$\sqrt[3]{8}=2$；第二步计算二次根式的平方：根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，可得$(\sqrt{3})^2=3$；第三步计算算术平方根：$\sqrt{25}$是求25的算术平方根，结果为5；最后将三个结果代入原式做加减运算得到最终值。
【解析】
解：分别计算各项的值：
$\sqrt[3]{8}=2$，$(\sqrt{3})^2=3$，$\sqrt{25}=5$
代入原式计算：
原式$=2 - 3 + 5$
$=-1 + 5$
$=4$
【答案】
$4$
【知识点】
立方根运算，二次根式的性质，算术平方根运算
【点评】
本题属于实数运算的基础题，主要考查常见根式的运算规则，整体难度低，只要熟练掌握各类根式的计算方法，运算时足够细心就能顺利得分。
【难度系数】
0.9
16. 解方程：
(1) $8x^2=50$；
(2) $(x-2)^3+27=0$。
答案：解：
(1) 系数化为1，得
$x^2 = \frac{25}{4}$
由平方根的定义，得
$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$
即 $x_1 = \frac{5}{2}$，$x_2 = -\frac{5}{2}$
(2) 移项，得
$(x-2)^3 = -27$
由立方根的定义，得
$x - 2 = \sqrt[3]{-27} = -3$
解得 $x = -1$
解析：
【分析】
本题包含两个解方程小题，均可利用开方的性质求解。第(1)题是含x²的方程，解题思路为：先将方程变形为x²等于常数的形式，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，即可求出x的两个解；第(2)题是含(x-2)³的方程，先移项得到(x-2)³等于常数的形式，再根据立方根的定义，任意实数的立方根唯一，即可求出x的值，解题时注意不要漏解或多解。
【解析】
(1) 对$8x^2=50$系数化为1，得：
$x^2 = \frac{50}{8} = \frac{25}{4}$
根据平方根的定义，正数的平方根有两个且互为相反数，得：
$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$
即 $x_1 = \frac{5}{2}$，$x_2 = -\frac{5}{2}$
(2) 对$(x-2)^3+27=0$移项，得：
$(x-2)^3 = -27$
根据立方根的定义，得：
$x - 2 = \sqrt[3]{-27} = -3$
解得 $x = -1$
【答案】
(1) $x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{5}{2}$；(2) $x=-1$
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；直接开方法解方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对平方根、立方根定义的理解与应用，解题时需注意正数的平方根有两个，不要漏写负根，立方根仅存在一个，计算细心即可得分。
【难度系数】
0.9
17. 如图,点C,E在边BF上,BE=CF,AB//DE,∠A=∠D.求证:AC=DF.
答案：证明：
∵ BE = CF，
∴ BE + EC = CF + EC，
即 BC = EF。
∵ AB // DE，
∴ ∠B = ∠DEF。
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠D \\∠B = ∠DEF \\BC = EF\end{array} $
∴ △ABC ≌ △DEF（AAS），
∴ AC = DF。
解析：
【分析】
要证明两条线段相等，通常可证明两条线段所在的三角形全等。本题中AC在△ABC中，DF在△DEF中，我们只需推导△ABC≌△DEF即可：首先根据BE=CF，给两段线段同时加公共线段EC，可得BC=EF，得到一组对应边相等的条件；再根据AB//DE，由平行线的同位角相等可得∠B=∠DEF，得到一组对应角相等的条件；结合题干已知的∠A=∠D，即可通过AAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等，就能得出AC=DF的结论。
【解析】
证明：
∵ BE = CF，
∴ BE + EC = CF + EC，
即 BC = EF。
∵ AB // DE，
∴ ∠B = ∠DEF。
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠D \\∠B = ∠DEF \\BC = EF\end{array} $
∴ △ABC ≌ △DEF（AAS），
∴ AC = DF。
【答案】
AC=DF
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的AAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础常规题型，解题核心是将已知的线段关系、平行关系转化为三角形全等的判定条件，再利用全等的性质得到对应边相等，是全等三角形应用的典型考法。
【难度系数】
0.85
18. 如图，AD为$△ ABC$的高，$AB=17$，$BC=9$，$AC=10$，求$AD$的长.
答案：解：设CD = x，则BD = BC + CD = 9 + x。
∵ AD为△ABC的高，
∴ ∠D = 90°。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 17^2 - (9+x)^2$。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 10^2 - x^2$。
因此可得方程：
$17^2 - (9+x)^2 = 10^2 - x^2$
展开化简：
$289 - 81 - 18x - x^2 = 100 - x^2$
$208 - 18x = 100$
解得 $x = 6$。
将$x=6$代入$AD^2 = 10^2 - x^2$，得：
$AD^2 = 100 - 36 = 64$，
∵ AD＞0，
∴ AD = 8。
答：AD的长为8。
解析：
【分析】
本题包含有公共高AD的两个直角三角形，已知两条斜边AB、AC的长度和BC的长度，要求高AD的长。解题时可先设CD的长度为未知数x，以此表示出BD的长度；再结合AD是两个直角三角形的公共直角边，分别在Rt△ABD和Rt△ACD中用勾股定理表示出AD²，根据两个AD²的表达式相等建立方程，先求解出x的值，再代入计算即可得到AD的长度。
【解析】
设CD = x，则BD = BC + CD = 9 + x。
∵ AD为△ABC的高，
∴ ∠D = 90°，△ABD和△ACD均为直角三角形。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 17^2 - (9+x)^2$。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 10^2 - x^2$。
联立两个表达式可得方程：
$17^2 - (9+x)^2 = 10^2 - x^2$
展开化简：
$289 - 81 - 18x - x^2 = 100 - x^2$
$208 - 18x = 100$
解得 $x = 6$。
将$x=6$代入$AD^2 = 10^2 - x^2$，得：
$AD^2 = 100 - 36 = 64$，
∵ AD是线段长度，AD＞0，
∴ AD = 8。
【答案】
8
【知识点】
勾股定理；列方程解几何问题
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，核心是利用两个直角三角形的公共边作为等量关系搭建方程，将几何计算问题转化为代数解方程问题，体现了数形结合的思想，要熟练掌握这种通过公共边、公共角等几何公共元素建立等量关系的解题技巧。
【难度系数】
0.6
