8. 如图，一次函数$y=\frac{4}{3}x+4$的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C在y轴的正半轴上，若点B关于直线AC的对称点$B'$恰好落在x轴上，则直线AC所对应的函数表达式为(
).
A.$y=\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}$
B.$y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$
C.$y=\frac{1}{2}x+\frac{4}{3}$
D.$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$
答案：D
解析：
1. 求点A、B坐标：
对于一次函数$y=\frac{4}{3}x+4$，令$y=0$，解得$x=-3$，得$A(-3,0)$；令$x=0$，得$y=4$，得$B(0,4)$。
2. 计算AB长度：
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
3. 求点$B'$坐标：
由点B、$B'$关于直线AC对称，得$AB'=AB=5$，因此$OB'=AB'-OA=5-3=2$，即$B'(2,0)$。
4. 求点C坐标：
设$C(0,c)$，由对称性得$CB=CB'$，即$4-c=\sqrt{c^2+2^2}$，两边平方化简得$16-8c=4$，解得$c=\frac{3}{2}$，即$C(0,\frac{3}{2})$。
5. 求直线AC解析式：
设直线AC表达式为$y=kx+b$，代入$A(-3,0)$、$C(0,\frac{3}{2})$，得$b=\frac{3}{2}$，$-3k+\frac{3}{2}=0$，解得$k=\frac{1}{2}$，因此直线AC的表达式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$。
9. 下列五个数$-\dfrac{3}{7}$，3.1415926，$\sqrt{3}$，$\sqrt{4}$，$2π$，其中无理数有________个。
答案：$\boldsymbol{2}$
解析：
解：
$\because \sqrt{4}=2$，
$\therefore$ 对五个数逐一判断：
$-\dfrac{3}{7}$是分数，属于有理数；
$3.1415926$是有限小数，属于有理数；
$\sqrt{3}$是开方开不尽的数，是无理数；
$\sqrt{4}=2$是整数，属于有理数；
$2π$是无限不循环小数，是无理数。
综上，无理数共有2个。
答案：解：
∵ $4^2=16$，$5^2=25$，
∴ $4＜\sqrt{20}＜5$。
又∵ $4.5^2=20.25$，$20＜20.25$，
∴ $\sqrt{20}＜4.5$，
∴ 与$\sqrt{20}$最接近的整数是$4$。
11. 将一次函数$y=3x-4$的图象平移后经过点$A(2,-1)$，则平移后图象的函数表达式为
。
答案：解：设平移后图象的函数表达式为$y=3x+b$。
将点$A(2,-1)$代入表达式，得：
$-1 = 3× 2 + b$
解得$b=-7$。
所以平移后图象的函数表达式为$\boldsymbol{y=3x-7}$。
12. 如图，线段AB，BC的垂直平分线$l_1$，$l_2$相交于点O，若$∠ AOC = 90°$，$∠ A = 13°$，则$∠ C =$
°。
（第12题）
答案：$\boldsymbol{32}$
解析：
解：连接OB
∵ $l_1$是线段AB的垂直平分线，
∴ $OA = OB$，
∴ $∠ A = ∠ ABO = 13°$。
∵ $l_2$是线段BC的垂直平分线，
∴ $OB = OC$，
∴ $∠ C = ∠ OBC$。
在$△ AOB$中，$∠ AOB = 180° - 2∠ ABO$，
在$△ BOC$中，$∠ BOC = 180° - 2∠ OBC$，
∴ $∠ AOC = 360° - ∠ AOB - ∠ BOC$
$= 360° - (180° - 2∠ ABO) - (180° - 2∠ OBC)$
$= 2(∠ ABO + ∠ OBC) = 2∠ ABC$。
∵ $∠ AOC = 90°$，
∴ $∠ ABC = 45°$。
又∵ $∠ ABC = ∠ ABO + ∠ OBC = ∠ A + ∠ C$，
∴ $∠ C = 45° - 13° = 32°$。
最终
13. 一次函数$y=kx+b$的图象如图所示，则关于$x$的不等式$kx+2b＜0$的解集是
。
答案：$\boldsymbol{x＞6}$
解析：
解：
由一次函数图象可知，$y=kx+b$过点$(3,0)$，且$y$随$x$增大而减小，即$k＜0$。
将$(3,0)$代入$y=kx+b$，得：
$3k + b = 0$，即$b=-3k$。
把$b=-3k$代入不等式$kx+2b＜0$，得：
$kx -6k ＜0$
$k(x-6)＜0$
因为$k＜0$，两边同时除以$k$，不等号方向改变，得：
$x-6＞0$
解得$x＞6$。
14. 在$△ ABC$中，$∠ ABC=30°$，$AB=6$，$BC=2$，以$AC$为边作等边三角形$ACD$，连接$BD$，则$BD^2$的值为________。
答案：解：将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△AED，连接BE。
由旋转的性质得：AB=AE=6，DE=BC=2，∠BAE=60°，∠AED=∠ABC=30°。
∵AB=AE，∠BAE=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=6，∠AEB=60°。
分两种情况：
① 当点B、D在AC异侧时，∠BED=∠AEB+∠AED=60°+30°=90°，
在Rt△BED中，由勾股定理得：
$BD^2=BE^2+DE^2=6^2+2^2=40$。
② 当点B、D在AC同侧时，∠BED=∠AEB-∠AED=60°-30°=30°，
过点D作DF⊥BE于点F，
在Rt△DEF中，∠DEF=30°，DE=2，
∴$DF=\frac{1}{2}DE=1$，$EF=\sqrt{DE^2-DF^2}=\sqrt{3}$，
∴$BF=BE-EF=6-\sqrt{3}$，
在Rt△BFD中，由勾股定理得：
$BD^2=BF^2+DF^2=(6-\sqrt{3})^2+1^2=40-12\sqrt{3}$。
综上，$BD^2$的值为$40$或$40-12\sqrt{3}$。
三、解答题
15. 求下列各式中$x$的值：
（1）$2(x+1)^2=8$；
（2）$8(x-1)^3=27$。
答案：解：
（1）$2(x+1)^2=8$
两边同时除以2，得：
$(x+1)^2=4$
根据平方根的定义，得：
$x+1=\pm2$
当$x+1=2$时，解得$x=1$；
当$x+1=-2$时，解得$x=-3$。
所以$x$的值为$1$或$-3$。
（2）$8(x-1)^3=27$
两边同时除以8，得：
$(x-1)^3=\frac{27}{8}$
根据立方根的定义，得：
$x-1=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{3}{2}$
解得$x=\frac{5}{2}$。
