21. 现有甲、乙两个容器，每个容器都装有进水管和出水管，甲容器原来没有水，乙容器原有一定的水量. 首先打开甲容器的进水管注水，第10 min同时打开甲、乙两容器的出水管排水，第15 min关闭甲容器的进水管，直到甲、乙两容器水排完.
甲、乙两容器中的水量$y_1,y_2$（单位：L）与时间$x$（从甲容器注水开始计时，单位：min）的函数关系如图所示. 请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲容器进水管的注水速度是
L/min，乙容器出水管的排水速度是
L/min；
（2）求甲容器出水管的排水速度及线段AB对应的函数表达式；
（3）当$x=$
min时，两容器中的水量差为180 L.
答案：解：
（1）甲容器进水管的注水速度为$600÷10=60\ \mathrm{L/min}$，乙容器出水管的排水速度为$440÷(21-10)=40\ \mathrm{L/min}$。
故答案依次为：$\boldsymbol{60}$；$\boldsymbol{40}$。
（2）设甲容器出水管的排水速度为$v\ \mathrm{L/min}$，根据题意：
第10 min时甲容器水量为600 L，10~15 min甲同时进水、排水，15 min后关闭进水管，仅用5分钟排完剩余水量，可得方程：
$600 + 5×(60 - v) = (20-15)v$
解得$v=90$，即甲容器出水管的排水速度为$90\ \mathrm{L/min}$。
当$x=15$时，甲容器水量为$5×90=450\ \mathrm{L}$，即点$B$坐标为$(15,450)$。
设线段$AB$的函数表达式为$y_1=kx+b\ (10≤ x≤15)$，将$A(10,600)$、$B(15,450)$代入得：
$\begin{cases}10k + b = 600 \\15k + b = 450\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-30 \\b=900\end{cases}$
因此线段$AB$对应的函数表达式为$\boldsymbol{y_1=-30x+900\ (10≤ x≤15)}$。
（3）分阶段讨论：
① 当$0≤ x≤10$时，$y_1=60x$，$y_2=440$，由$|60x-440|=180$，得$440-60x=180$，解得$x=\frac{13}{3}$；
② 当$10＜x≤15$时，$y_1=-30x+900$，$y_2=440-40(x-10)=-40x+840$，由$|(-30x+900)-(-40x+840)|=180$，得$10x+60=180$，解得$x=12$；
③ 当$15＜x≤20$时，$y_1=450-90(x-15)=-90x+1800$，$y_2=-40x+840$，由$|(-90x+1800)-(-40x+840)|=180$，得$-50x+960=180$，解得$x=\frac{78}{5}=15.6$；
④ 当$20＜x≤21$时，$y_1=0$，由$|0-(-40x+840)|=180$解得$x=16.5$，不符合区间要求，舍去。
综上，$x$的值为$\boldsymbol{\frac{13}{3},12,15.6}$。
解析：
【分析】
解题时先结合题干和图象明确甲乙两容器不同时间段的进出水状态：①甲容器：0~10min仅进水，10~15min同时进水排水，15~20min仅排水至排空；②乙容器：0~10min水量不变，10~21min仅排水至排空。
（1）求速度直接用对应时段的水量变化量除以时间即可；
（2）求甲出水管排水速度时，以15min时甲容器的水量为等量列方程求解，再用待定系数法代入A、B两点坐标即可求出AB段函数表达式；
（3）分$0≤x≤10$、$10＜x≤15$、$15＜x≤20$、$20＜x≤21$四个时段，分别写出两容器水量的表达式，根据水量差为180L列绝对值方程，求解后验证解是否符合对应时段范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
（1）甲容器0~10min仅进水，水量从0升到600L，故进水管注水速度为$600÷10=60\ \mathrm{L/min}$；
乙容器10~21min共11分钟将原有440L水排空，故出水管排水速度为$440÷(21-10)=40\ \mathrm{L/min}$。
（2）设甲容器出水管的排水速度为$v\ \mathrm{L/min}$：
10~15min共5分钟，甲同时进水、排水，15min后仅排水，到20min刚好排空，因此15min时的水量可表示为$600+5×(60-v)$，也可表示为$(20-15)v$，列方程：
$600 + 5×(60 - v) = 5v$
解得$v=90$，即甲容器出水管排水速度为$90\ \mathrm{L/min}$。
当$x=15$时，甲容器水量为$5×90=450\ \mathrm{L}$，即$B(15,450)$。
设线段AB对应的函数表达式为$y_1=kx+b\ (10≤ x≤15)$，将$A(10,600)$、$B(15,450)$代入得：
$\begin{cases}10k + b = 600 \\15k + b = 450\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-30 \\b=900\end{cases}$，故线段AB的函数表达式为$y_1=-30x+900\ (10≤ x≤15)$。
（3）分时段讨论：
① 当$0≤ x≤10$时，$y_1=60x$，$y_2=440$，由$|60x-440|=180$，此时$60x≤600$，取$440-60x=180$，解得$x=\frac{13}{3}$，符合区间要求；
② 当$10＜x≤15$时，$y_1=-30x+900$，$y_2=440-40(x-10)=-40x+840$，由$|(-30x+900)-(-40x+840)|=180$，即$|10x+60|=180$，$10x+60=180$，解得$x=12$，符合区间要求；
③ 当$15＜x≤20$时，$y_1=450-90(x-15)=-90x+1800$，$y_2=-40x+840$，由$|(-90x+1800)-(-40x+840)|=180$，即$|-50x+960|=180$，取$-50x+960=180$，解得$x=15.6$，符合区间要求；
④ 当$20＜x≤21$时，$y_1=0$，由$|0-(-40x+840)|=180$解得$x=16.5$或$x=25.5$，均不在该区间，舍去。
综上，x的值为$\frac{13}{3}$、12、15.6。
【答案】
（1）$\boldsymbol{60}$；$\boldsymbol{40}$
（2）甲容器出水管的排水速度为$\boldsymbol{90\ \mathrm{L/min}}$，线段AB对应的函数表达式为$\boldsymbol{y_1=-30x+900\ (10≤ x≤15)}$
（3）$\boldsymbol{\frac{13}{3},12,15.6}$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；分类讨论思想
【点评】
本题结合函数图象考查实际生活中的进出水问题，需要准确读取图象信息，理清不同时间段容器的进出水状态，第三问需注意分区间讨论，避免漏解或错解，同时要验证方程的解是否符合对应时段的范围。
【难度系数】
0.3
22. 已知一次函数 $ y_1 = kx - k + 3 $ 和 $ y_2 = -kx - k - 2 $（$ k $ 为常数）.
（1）函数 $ y_1 = -kx - k - 2 $ 的图象过定点
；
（2）若它们图象的交点位于第二象限，则 $ k $ 的取值范围是
；
（3）探索它们图象的交点位于哪个象限及其对应 $ k $ 的取值范围.
答案：解：
（1）将$y_2=-kx -k -2$变形为$y=-k(x+1)-2$，
令$x+1=0$，得$x=-1$，此时$y=-2$，
因此函数图象过定点$\boldsymbol{(-1,-2)}$。
（2）联立两个一次函数的方程：
$\begin{cases}y=kx -k +3 \\ y=-kx -k -2\end{cases}$
消去$y$得：$kx -k +3 = -kx -k -2$，
化简得$2kx=-5$，解得$x=-\dfrac{5}{2k}$，
将$x=-\dfrac{5}{2k}$代入$y_1=kx -k +3$，得$y=\dfrac{1}{2}-k$，
即两函数交点坐标为$(-\dfrac{5}{2k},\dfrac{1}{2}-k)$。
若交点在第二象限，则满足：
$\begin{cases}-\dfrac{5}{2k}＜0 \\ \dfrac{1}{2}-k＞0\end{cases}$
解第一个不等式得$k＞0$，解第二个不等式得$k＜\dfrac{1}{2}$，
因此$k$的取值范围是$\boldsymbol{0＜k＜\dfrac{1}{2}}$。
（3）由交点坐标$(-\dfrac{5}{2k},\dfrac{1}{2}-k)$，分情况讨论：
① 当$k＜0$时，$-\dfrac{5}{2k}＞0$，$\dfrac{1}{2}-k＞0$，交点横纵坐标均为正，交点位于第一象限；
② 当$0＜k＜\dfrac{1}{2}$时，$-\dfrac{5}{2k}＜0$，$\dfrac{1}{2}-k＞0$，交点横坐标为负、纵坐标为正，交点位于第二象限；
③ 当$k＞\dfrac{1}{2}$时，$-\dfrac{5}{2k}＜0$，$\dfrac{1}{2}-k＜0$，交点横纵坐标均为负，交点位于第三象限；
④ 当$k=\dfrac{1}{2}$时，交点坐标为$(-5,0)$，在x轴负半轴上，不属于任何象限。
综上：
当$k＜0$时，两函数图象交点位于第一象限；
当$0＜k＜\dfrac{1}{2}$时，两函数图象交点位于第二象限；
当$k＞\dfrac{1}{2}$时，两函数图象交点位于第三象限。
解析：
【分析】
（1）求一次函数过定点的核心是消除参数$k$的影响：将函数解析式中含$k$的项提取公因式，令$k$的系数为0，即可求出定点横坐标，再代入计算得纵坐标。
（2）求两个一次函数交点所在象限，首先联立两个函数解析式，解方程组得到用$k$表示的交点坐标；再结合第二象限内点的坐标特征（横坐标小于0，纵坐标大于0）列不等式组，解不等式组即可得到$k$的取值范围。
（3）判断交点所在象限，需根据交点横、纵坐标的正负性，分情况讨论$k$的不同取值范围，对应分析横纵坐标的正负，即可确定对应象限，注意排除交点在坐标轴上的特殊情况。
【解析】
（1）将$y_2=-kx -k -2$变形为$y=-k(x+1)-2$，令$x+1=0$，得$x=-1$，此时$y=-2$，因此函数图象过定点$(-1,-2)$。
（2）联立两个一次函数的方程：
$\begin{cases}y=kx -k +3 \\ y=-kx -k -2\end{cases}$
消去$y$得：$kx -k +3 = -kx -k -2$，化简得$2kx=-5$，解得$x=-\dfrac{5}{2k}$。
将$x=-\dfrac{5}{2k}$代入$y_1=kx -k +3$，得$y=\dfrac{1}{2}-k$，即两函数交点坐标为$(-\dfrac{5}{2k},\dfrac{1}{2}-k)$。
若交点在第二象限，则满足：
$\begin{cases}-\dfrac{5}{2k}＜0 \\ \dfrac{1}{2}-k＞0\end{cases}$
解第一个不等式得$k＞0$，解第二个不等式得$k＜\dfrac{1}{2}$，因此$k$的取值范围是$0＜k＜\dfrac{1}{2}$。
（3）由交点坐标$(-\dfrac{5}{2k},\dfrac{1}{2}-k)$，分情况讨论：
① 当$k＜0$时，$-\dfrac{5}{2k}＞0$，$\dfrac{1}{2}-k＞0$，交点横纵坐标均为正，交点位于第一象限；
② 当$0＜k＜\dfrac{1}{2}$时，$-\dfrac{5}{2k}＜0$，$\dfrac{1}{2}-k＞0$，交点横坐标为负、纵坐标为正，交点位于第二象限；
③ 当$k＞\dfrac{1}{2}$时，$-\dfrac{5}{2k}＜0$，$\dfrac{1}{2}-k＜0$，交点横纵坐标均为负，交点位于第三象限；
④ 当$k=\dfrac{1}{2}$时，交点坐标为$(-5,0)$，在x轴负半轴上，不属于任何象限。
综上：当$k＜0$时，两函数图象交点位于第一象限；当$0＜k＜\dfrac{1}{2}$时，交点位于第二象限；当$k＞\dfrac{1}{2}$时，交点位于第三象限。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(-1,-2)}$
（2）$\boldsymbol{0＜k＜\dfrac{1}{2}}$
（3）当$k＜0$时，交点在第一象限；当$0＜k＜\dfrac{1}{2}$时，交点在第二象限；当$k＞\dfrac{1}{2}$时，交点在第三象限；当$k=\dfrac{1}{2}$时，交点在x轴负半轴，不属于任何象限。
【知识点】
一次函数定点求解；一次函数交点计算；象限内点的坐标特征
【点评】
本题综合考查一次函数的相关性质，将定点求解、交点计算与象限坐标特征结合，解题的核心是正确求出含参数的交点坐标，再结合坐标正负性列不等式或分类讨论，能有效考查分类讨论思想和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
