4. 某企业今年一月份的研发资金为100万元，以后每月的研发资金与上月相比增长率都是x，则该企业今年三月份的研发资金y（单位：万元）关于x的函数解析式为
。
。
答案：解：
一月份研发资金为100万元，
二月份研发资金为$100(1+x)$万元，
三月份研发资金在二月份的基础上按相同增长率x增长，因此：
$y = 100(1+x)·(1+x)$
整理得函数解析式为$y=100(1+x)^2=100x^2+200x+100$。
解析：
【分析】
本题属于平均增长率类的函数解析式求解问题，解题思路可按照时间顺序逐步推导：首先明确平均增长率的核心公式：增长后量=增长前量×(1+增长率)；已知一月份研发资金，先根据公式求出二月份的研发资金，再以二月份的资金为基数，用同样的公式求出三月份的资金，最后整理得到y关于x的函数解析式即可。
【解析】
解：已知一月份的研发资金为100万元，每月增长率为x。
二月份的研发资金是在一月份的基础上增长的，因此二月份研发资金为$100(1+x)$万元；
三月份的研发资金是在二月份的基础上按相同增长率x增长，因此三月份研发资金为：
$y = 100(1+x) · (1+x)$
整理得：$y=100(1+x)^2=100x^2+200x+100$。
【答案】
$y=100(1+x)^2$（或$y=100x^2+200x+100$）
【知识点】
平均增长率问题、列二次函数解析式
【点评】
本题是平均增长率的基础应用题型，解题核心是理清每个阶段的增长基数，熟练运用增长率公式逐步推导即可，注意最终函数解析式需整理为规范形式。
【难度系数】
0.8
5. 若$y=(m+1)x^{m^2-2m-1}$是$y$关于$x$的二次函数，求$m$的值.
答案：解：
∵ $y=(m+1)x^{m^2-2m-1}$是y关于x的二次函数，
∴ 自变量x的次数为2，且二次项系数不为0，即：
$\begin{cases}m^2 - 2m - 1 = 2 \\m + 1 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - 2m -1 = 2$，整理得$m^2 - 2m - 3 = 0$，
因式分解得$(m-3)(m+1)=0$，
解得$m_1=3$，$m_2=-1$。
又∵ $m+1≠0$，即$m≠ -1$，
∴ 舍去$m=-1$，得$m=3$。
解析：
【分析】
要解决本题，首先要明确二次函数的核心判定条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项系数不能为0（否则最高次项消失，不符合二次函数要求）。解题时先根据次数要求列一元二次方程求出m的可能值，再结合系数不为0的限制条件排除不符合的解，即可得到正确的m值。
【解析】
∵ $y=(m+1)x^{m^2-2m-1}$是y关于x的二次函数，
∴ 自变量x的次数为2，且二次项系数不为0，即：
$\begin{cases}m^2 - 2m - 1 = 2 \\m + 1 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - 2m -1 = 2$，整理得$m^2 - 2m - 3 = 0$，
因式分解得$(m-3)(m+1)=0$，
解得$m_1=3$，$m_2=-1$。
又
∵ $m+1≠0$，即$m≠ -1$，
∴ 舍去$m=-1$，得$m=3$。
【答案】
$m=3$
【知识点】
二次函数的定义、一元二次方程的解法、不等式求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题的关键是牢记二次函数需同时满足最高次为2、二次项系数不为0两个条件，易错点是容易忽略系数不为0的限制，导致出现多解错误。
【难度系数】
0.7
1. 二次函数$y=-2x^2$的图象是（
）。
答案：解：对于二次函数$y=-2x^2$：
1. 二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，可直接排除开口向上的选项A、B；
2. 该函数的顶点坐标为$(0,0)$，即顶点在坐标原点，可排除顶点坐标为$(-2,0)$的选项D。
综上，答案选$\boldsymbol{C}$。
解析：
【分析】
判断二次函数的对应图象可分两步筛选：首先根据二次项系数的正负判断抛物线的开口方向，排除不符合开口特征的选项；再结合该二次函数的顶点坐标、对称轴特征，排除剩余选项中不匹配的，即可得到正确答案。
【解析】
1. 判别开口方向：对于二次函数$y=ax^2$，本题中二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，选项A、B的图象开口向上，直接排除；
2. 判别顶点坐标：二次函数$y=-2x^2$可写成顶点式$y=-2(x-0)^2+0$，因此顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴，选项D的顶点在$(-2,0)$，不符合特征，排除D。
综上，只有选项C符合该二次函数的图象特征。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；开口方向判断；顶点坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题，核心考查$y=ax^2$型二次函数的性质，牢记二次项系数和开口方向的关系、基础二次函数的顶点位置即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 下列抛物线中，开口最小的是（
）.
A.$y=-x^2$
B.$y=-2x^2$
C.$y=3x^2$
D.$y=5x^2$
答案：D
解析：
【分析】
要判断抛物线开口最小的选项，首先回忆二次函数y=ax²的图象性质：抛物线的开口大小仅由二次项系数a的绝对值决定，与a的正负无关，|a|越大，开口越小。因此解题步骤为：先分别求出四个选项中a的绝对值，再比较绝对值的大小，绝对值最大的对应的抛物线开口最小。
【解析】
对于二次函数y=ax²，其开口大小由|a|决定：|a|越大，抛物线开口越小，a的正负仅决定开口方向，不影响开口宽窄。
分别计算各选项的|a|：
A选项：a=-1，|a|=1；
B选项：a=-2，|a|=2；
C选项：a=3，|a|=3；
D选项：a=5，|a|=5。
比较得5＞3＞2＞1，即D选项的|a|最大，因此其对应的抛物线开口最小。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质、二次项系数与开口的关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次项系数对抛物线开口大小的影响，解题时需注意不要被a的正负干扰，仅需比较|a|的大小即可快速得出结论，是对二次函数基础性质的直接应用。
【难度系数】
0.8
