3. 已知点$A(-1, a)$，$B(2, b)$，$C(3, c)$都在二次函数$y = x^2$的图象上，则$a$，$b$，$c$的大小关系是（
）.
A.$b ＜ a ＜ c$
B.$a ＜ c ＜ b$
C.$a ＜ b ＜ c$
D.$c ＜ b ＜ a$
答案：C
解析：
【分析】
要比较a、b、c的大小，有两种常用解题思路：思路1：直接将三个点的横坐标代入二次函数解析式，分别计算出a、b、c的具体数值，再比较大小；思路2：利用二次函数$y=x^2$的性质：该函数开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，可先找到点A关于对称轴的对称点，将三个点都转化到对称轴同侧，再根据增减性比较函数值大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将各点横坐标代入$y=x^2$计算：
当$x=-1$时，$a=(-1)^2=1$；
当$x=2$时，$b=2^2=4$；
当$x=3$时，$c=3^2=9$。
因为$1＜4＜9$，所以$a＜b＜c$。
方法二：性质判断法
二次函数$y=x^2$开口向上，对称轴为直线$x=0$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
点$A(-1,a)$关于对称轴$x=0$的对称点为$(1,a)$，此时三个点在对称轴右侧的横坐标分别为1、2、3，
因为$1＜2＜3$，根据函数增减性可得对应的函数值大小为$a＜b＜c$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，函数值大小比较
【点评】
本题属于基础题，考查二次函数的核心基础性质，解题方式灵活，既可以直接代入计算得到结果，也可以借助函数的增减性、对称性快速判断，熟练掌握二次函数的图象性质能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.9
4. 已知二次函数$y=x^2$，当$1≤ y≤9$时，自变量$x$的取值范围是
。
答案：解：
当y=1时，$x^2=1$，解得$x=\pm1$；
当y=9时，$x^2=9$，解得$x=\pm3$。
二次函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为y轴，结合函数性质可得，当$1≤ y≤9$时，自变量x的取值范围是$-3≤ x≤-1$或$1≤ x≤3$。
解析：
【分析】
本题要求根据二次函数的y值范围求自变量x的范围，解题思路如下：第一步，先计算y取边界值1和9时对应的x的值；第二步，回忆二次函数$y=x^2$的图象性质：开口向上，对称轴为y轴，对称轴右侧y随x增大而增大，对称轴左侧y随x增大而减小；第三步，结合函数增减性和对称性，分别确定x正半轴、负半轴上满足y范围的区间，最后合并结果，注意不要遗漏负半轴的取值。
【解析】
解：当$y=1$时，代入函数解析式得$x^2=1$，解得$x=\pm1$；
当$y=9$时，代入函数解析式得$x^2=9$，解得$x=\pm3$。
二次函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为y轴：
①当$x≥0$时，y随x的增大而增大，因此当$1≤ y≤9$时，对应的x取值范围是$1≤ x≤3$；
②当$x≤0$时，y随x的增大而减小，因此当$1≤ y≤9$时，对应的x取值范围是$-3≤ x≤-1$。
综上可得自变量x的取值范围。
【答案】
$-3≤ x≤-1$或$1≤ x≤3$
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质；二次函数增减性；自变量范围求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，易错点是容易忽略函数图象关于y轴对称的特点，仅写出x正半轴的取值范围造成漏解，结合函数图象分析会更直观。
【难度系数】
0.6
5. 二次函数$y=ax^2$的图象与直线$y=2x-1$交于点$(1, m)$，求$a$，$m$的值。
答案：解：
把点$(1, m)$代入直线$y=2x-1$，得
$m=2×1 -1=1$，
因此交点坐标为$(1,1)$。
将$(1,1)$代入二次函数$y=ax^2$，得
$1=a·1^2$，
解得$a=1$。
综上，$a=1$，$m=1$。
解析：
【分析】
两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此点$(1,m)$既在直线$y=2x-1$上，也在二次函数$y=ax^2$上。解题时先将点的横坐标代入已知的一次函数解析式，求出$m$的值得到完整的交点坐标，再将交点坐标代入二次函数解析式，即可求出$a$的值。
【解析】
解：
∵点$(1, m)$在直线$y=2x-1$上，
∴将$x=1$代入$y=2x-1$，得$m=2×1 -1=1$，
∴交点坐标为$(1,1)$。
又
∵点$(1,1)$在二次函数$y=ax^2$的图象上，
∴将$x=1$，$y=1$代入$y=ax^2$，得$1=a×1^2$，
解得$a=1$。
【答案】
$a=1$，$m=1$
【知识点】
函数图象上点的坐标特征、代入法求参数、二次函数的性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查函数交点的性质，即两个函数图象的公共点坐标同时满足两个函数的解析式，熟练运用代入法按步骤计算即可快速解题。
【难度系数】
0.8
1. 二次函数$y=x^2+1$的图象大致是（
）。
答案：解：在二次函数$y=x^2+1$中，
二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，排除开口向下的选项B、D；
该二次函数的顶点坐标为$(0,1)$，顶点在y轴正半轴，排除顶点为$(0,-1)$的选项A。
综上，答案为$\boldsymbol{C}$。
解析：
【分析】
判断二次函数图象可按固定思路逐步筛选：第一步先根据二次项系数的符号判断抛物线开口方向，先排除开口方向不符合的选项；第二步再根据解析式确定顶点坐标或与y轴的交点位置，进一步排除错误选项，最终得到正确答案。
【解析】
在二次函数$y=x^2+1$中：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，可直接排除开口向下的选项B、D；
2. 该函数属于$y=ax^2+k$型二次函数，顶点坐标为$(0,k)$，代入$k=1$可得顶点坐标为$(0,1)$，即顶点在y轴正半轴，可排除顶点为$(0,-1)$的选项A。
综上，只有选项C符合该二次函数的图象特征。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
二次函数图象性质、二次函数开口判断、二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，核心考查$y=ax^2+k$型二次函数的性质，按照“先判开口，再定顶点”的顺序排除错误选项即可快速解题，是对二次函数基础性质的直接应用。
【难度系数】
0.9
