【分析】
要判断二次函数的图像，我们可以从顶点式的参数特征逐步分析：第一步先根据二次项系数a的正负判断开口方向，排除不符合的选项；第二步再根据顶点式确定顶点坐标和对称轴位置，进一步筛选剩余选项，就能得到正确答案。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=-(x+1)^2+2$中，二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，可直接排除开口向上的选项C、D。
2. 判断顶点位置：该函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，对应顶点坐标为$(h,k)$，因此本题中顶点坐标为$(-1,2)$，对称轴为直线$x=-1$，说明顶点在第二象限、对称轴在y轴左侧。
3. 筛选剩余选项：选项B的顶点在第一象限（对称轴在y轴右侧），不符合特征，排除；选项A开口向下、顶点在第二象限，符合函数图像特征。
【答案】
$\boldsymbol{A}$
【知识点】
顶点式二次函数性质；二次函数开口判断；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图像判断的基础题型，解题关键是掌握二次函数顶点式中各参数对应的图像特征，不需要复杂计算即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，回忆二次函数顶点式$y=a(x+m)^2+n$的顶点坐标为$(-m,n)$，对应本题的二次函数解析式，先写出它的顶点坐标；第二步，观察图象，抛物线顶点在第四象限，第四象限内的点横坐标为正、纵坐标为负，据此列不等式求出h和k的正负性；第三步，根据一次函数$y=kx+b$的图象与系数的关系：$k＞0$时图象从左到右上升，$b＞0$时交y轴正半轴，$b＜0$时交y轴负半轴，判断一次函数经过的象限，即可得出答案。
【解析】
解：二次函数$y=a(x+h)^2 -k$的顶点坐标为$(-h, -k)$。
由图象可知，抛物线顶点在第四象限：
∴ 顶点横坐标$-h＞0$，解得$h＜0$；
顶点纵坐标$-k＜0$，解得$k＞0$。
对于一次函数$y=kx + h$：
∵ $k＞0$，
∴ 函数图象从左向右上升，经过第一、三象限；
∵ $h＜0$，
∴ 函数图象与y轴交于负半轴，还经过第四象限。
因此一次函数$y=kx+h$的图象经过第一、三、四象限，一定不经过第二象限。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质，一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是二次函数与一次函数的基础综合题，重点考查对函数图象与参数关系的掌握，只要能准确提取二次函数顶点的符号信息，就能快速解题，易错点是二次函数顶点坐标的符号容易混淆。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决抛物线平移后解析式的问题，需牢记二次函数图象平移的核心规律“左加右减，上加下减”：左右平移时对自变量x进行操作（向左平移加，向右平移减），上下平移时对常数项进行操作（向上平移加，向下平移减）。本题原抛物线已经是顶点式，可直接套用规律逐步计算平移后的解析式。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=2(x+1)^2 -3$：
1. 第一步，向右平移2个单位长度，根据“左加右减”原则，将解析式中的$x$替换为$x-2$，可得：
$y=2[(x-2)+1]^2 -3 = 2(x-1)^2 -3$
2. 第二步，向上平移1个单位长度，根据“上加下减”原则，在常数项后加1，可得：
$y=2(x-1)^2 -3 +1 = 2(x-1)^2 -2$
综上，平移后所得抛物线的解析式为$y=2(x-1)^2 -2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，解题的核心是准确掌握平移规则，尤其注意左右平移是针对自变量x本身进行加减，避免将平移方向与加减符号对应错误。
【难度系数】
0.8

【分析】
要比较二次函数图象上三个点的函数值大小，首先需明确二次函数的开口方向和对称轴：对于开口向下的二次函数，图象上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大。本题给出的是二次函数顶点式，可直接确定开口方向与对称轴，再计算三个点的横坐标到对称轴的距离，即可比较y值大小。
【解析】
解：已知二次函数解析式为$y=-(x-2)^2+c$
$\because a=-1＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$
开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越近，函数值越大
分别计算三个点到对称轴$x=2$的距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离：$|-2-2|=4$
点$(3,y_2)$到对称轴的距离：$|3-2|=1$
点$(7,y_3)$到对称轴的距离：$|7-2|=5$
$\because 1＜4＜5$，$\therefore y_2＞y_1＞y_3$
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数顶点式；函数值比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题时既可利用抛物线的对称性和开口方向快速判断函数值大小，也可将三个点代入解析式计算出具体$y_1、y_2、y_3$的值再比较，两种方法都能得出结果，熟练掌握顶点式的相关性质能提升解题效率。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题给出的是二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），解题时可直接结合顶点式的相关性质逐一分析各问：首先根据$a$的符号判断开口方向，再结合$h$、$k$确定对称轴和顶点坐标；接着根据开口方向和对称轴判断函数的增减性与最值；最后根据二次函数图象平移“左加右减、上加下减”的规律推导平移方式。
【解析】
（1）已知函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2 -1$，其中$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此函数图象开口向下；对应顶点式参数得$h=4$，$k=-1$，因此对称轴为直线$x=4$，顶点坐标为$(4,-1)$。
（2）由于抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，因此当$x＜4$时，$y$随$x$的增大而增大。
（3）$\because a=-\dfrac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，顶点为图象的最高点，
$\therefore$ 当$x=4$时，函数取得最大值，最大值为顶点的纵坐标$-1$。
（4）根据二次函数图象平移“左加右减（针对自变量$x$），上加下减（针对常数项）”的规则，将抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2 -1$。
【答案】
(1) 向下；直线$x=4$；$(4,-1)$
(2) $＜4$
(3) 当$x=4$时，函数取得最大值，最大值为$-1$
(4) 先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数图象平移
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，核心是对顶点式中各参数意义的理解，以及对平移规则、增减性、最值等基础性质的掌握，熟练掌握相关知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9