2. 如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5 cm，3 cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为x cm，小球滚动的区域（空白区域）的面积为y cm²，则y关于x的函数解析式为（
）。
A.$y=5×3 - 3x - 5x$
B.$y=(5 - x)(3 - x)$
C.$y=3x + 5x$
D.$y=(5 - x)(3 - x) + 5x^2$
答案：B
解析：
【分析】
求解这类含不规则空白区域的面积问题，优先考虑平移法：把分散的空白区域通过平移拼接成规则图形，简化计算。首先观察挡板的结构：所有纵向挡板的总宽度为x，所有横向挡板的总高度为x，将空白区域向矩形左上角平移后，会拼成一个完整的新矩形，只需计算新矩形的长和宽，即可求出空白面积。如果用“大矩形面积减挡板面积”的思路，要注意挡板横竖重叠的部分被减了两次，需要加回一次重叠面积x²，和平移法得到的结果一致。
【解析】
我们采用平移法简化计算：
1. 将所有横向的挡板向下平移，纵向的挡板向左平移，原本分散的空白区域会拼接成一个全新的矩形；
2. 新矩形的长 = 原矩形长 - 挡板宽度 = $\boldsymbol{(5 - x)\mathrm{cm}}$，新矩形的宽 = 原矩形宽 - 挡板宽度 = $\boldsymbol{(3 - x)\mathrm{cm}}$；
3. 根据矩形面积公式，空白区域面积$y = \mathrm{长}×\mathrm{宽} = (5 - x)(3 - x)$。
对其余选项辨析：选项A直接用大矩形面积减$3x$和$5x$，多减去了横竖挡板重叠的$x^2$部分，错误；选项C是挡板面积的错误计算结果，不是空白面积，错误；选项D额外多加了$5x^2$，不符合面积关系，错误。
【答案】
B
【知识点】
平移法求面积，列函数解析式，矩形面积计算
【点评】
这道题是不规则图形面积计算的典型题型，核心技巧是通过平移将不规则区域转化为规则图形，省去了计算重叠部分的步骤，能快速得到结果。
【难度系数】
0.7
3. 三角形的一条边与这条边上的高的和为10，则这个三角形面积的最大值为
。
答案：解：设三角形的这条边长为$x$（$0＜x＜10$），则这条边上的高为$10-x$。
设三角形的面积为$S$，根据三角形面积公式得：
$S=\frac{1}{2}x(10-x)$
整理得：
$S=-\frac{1}{2}x^2+5x$
该二次函数中$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此$S$有最大值，
当$x=-\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})}=5$时，
$S$取得最大值，最大值为$\frac{1}{2}×5×(10-5)=\frac{25}{2}$。
答：这个三角形面积的最大值为$\frac{25}{2}$（或12.5）。
解析：
【分析】
要解决这个问题，首先我们可以通过设未知数的方式表示出三角形的底和对应高，再结合三角形面积公式建立面积关于底边长的函数关系，观察发现得到的是二次函数，因为二次项系数为负，函数图象开口向下，在顶点处可取得最大值，最后结合二次函数求最值的方法计算即可，同时要注意边长和高都为正数，需明确自变量的取值范围。
【解析】
设三角形的这条边长为$x$（$0＜x＜10$），则这条边上的高为$10-x$。
设三角形的面积为$S$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S=\frac{1}{2}x(10-x)$
整理为二次函数的一般形式：
$S=-\frac{1}{2}x^2+5x$
该二次函数中$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此函数图象开口向下，$S$有最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得：
$x=-\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})}=5$，符合$0＜x＜10$的取值范围。
将$x=5$代入面积公式，得最大值为：
$S_{max}=\frac{1}{2}×5×(10-5)=\frac{25}{2}$
【答案】
$\frac{25}{2}$（或12.5）
【知识点】
三角形面积公式；二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题属于二次函数在几何最值问题中的基础应用，解题核心是结合几何量的数量关系建立正确的函数模型，再利用二次函数的性质求解，求解过程中要注意验证自变量的取值是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在 $Rt △ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，点 $P$ 从点 $A$ 沿 $AC$ 向点 $C$ 以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动，同时点 $Q$ 从点 $C$ 沿 $CB$ 向点 $B$ 以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动（点 $Q$ 运动到点 $B$ 时停止），求运动过程中四边形 $PABQ$ 的面积的最小值。
答案：解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\ \mathrm{cm}$。
设运动时间为$t$秒，四边形$PABQ$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$。
由题意可知：$AP=t\ \mathrm{cm}$，$CQ=2t\ \mathrm{cm}$，则$PC=(6-t)\ \mathrm{cm}$，
点Q运动到点B时停止，故$0≤ t≤ 4$。
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}×6×8=24\ \mathrm{cm}^2$，
$S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}· PC· CQ=\frac{1}{2}(6-t)· 2t=-t^2+6t$，
因此$S=S_{△ ABC}-S_{△ PCQ}=24-(-t^2+6t)=t^2-6t+24$。
配方得：$S=(t-3)^2+15$，
$\because a=1＞0$，且$t=3$在取值范围$0≤ t≤4$内，
$\therefore$ 当$t=3$时，$S$取得最小值，最小值为15。
答：四边形$PABQ$的面积的最小值为$15\ \mathrm{cm}^2$。
解析：
【分析】
求解本题首先观察到四边形PABQ是不规则图形，直接计算面积难度较大，因此采用割补法，用Rt△ABC的总面积减去△PCQ的面积来表示四边形的面积。第一步先利用勾股定理求出AC的长度；第二步设运动时间为t，用含t的代数式分别表示出PC、CQ的长度，同时结合点Q的运动限制确定t的取值范围；第三步写出△PCQ的面积表达式，进而得到四边形PABQ的面积关于t的函数关系式，判断为二次函数；最后结合二次函数的性质和t的取值范围，求出面积的最小值。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\ \mathrm{cm}$。
设运动时间为$t$秒，四边形$PABQ$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$。
由题意可知：$AP=t\ \mathrm{cm}$，$CQ=2t\ \mathrm{cm}$，则$PC=(6-t)\ \mathrm{cm}$，
点Q运动到点B时停止，故$0≤ t≤ 4$。
先计算△ABC的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}×6×8=24\ \mathrm{cm}^2$，
再计算△PCQ的面积：$S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}· PC· CQ=\frac{1}{2}(6-t)· 2t=-t^2+6t$，
因此四边形PABQ的面积：$S=S_{△ ABC}-S_{△ PCQ}=24-(-t^2+6t)=t^2-6t+24$。
配方得：$S=(t-3)^2+15$，
$\because a=1＞0$，抛物线开口向上，且$t=3$在取值范围$0≤ t≤4$内，
$\therefore$ 当$t=3$时，$S$取得最小值，最小值为15。
【答案】
$\boxed{15\ \mathrm{cm^2}}$
【知识点】
勾股定理，二次函数的最值，割补法求面积
【点评】
本题属于动态几何与函数结合的基础题型，解题核心是通过割补法将不规则图形的面积转化为易计算的图形面积差，进而建立二次函数模型求解最值，解题时需注意结合动点的运动范围确定自变量的取值范围，避免忽略范围导致最值求解错误。
【难度系数】
0.6
