5. 小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S（单位：cm²）随其中一条对角线的长x（单位：cm）的变化而变化.
（1）请直接写出S关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当x为多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积为多少？
答案：解：
(1) $S = -\frac{1}{2}x^2 + 30x$
(2) 在二次函数$S = -\frac{1}{2}x^2 + 30x$中，$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此S有最大值。
当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{30}{2×(-\frac{1}{2})} = 30$时，
$S_{最大值} = \frac{4ac-b^2}{4a} = \frac{0-30^2}{4×(-\frac{1}{2})} = 450$。
答：当x为30cm时，菱形风筝的面积S最大，最大面积为450cm²。
解析：
【分析】
（1）首先回忆菱形面积的计算方法：菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半。已知其中一条对角线长为x cm，两条对角线长度之和为60 cm，因此另一条对角线长为(60-x)cm，将两条对角线的长度代入面积公式，即可推导出S关于x的函数解析式。
（2）由第一问得到的关系式可知S是x的二次函数，且二次项系数小于0，抛物线开口向下，因此函数在顶点处取得最大值，可利用二次函数顶点坐标公式分别求出面积最大时x的值和对应的最大面积。
【解析】
（1）已知一条对角线长为x cm，两条对角线之和为60 cm，则另一条对角线长为$(60-x)$cm。
根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}×$对角线1×对角线2，代入得：
$S=\frac{1}{2}x(60-x)=-\frac{1}{2}x^2+30x$
（2）在二次函数$S = -\frac{1}{2}x^2 + 30x$中，$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此S有最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-\frac{1}{2}$、$b=30$得：
$x = -\frac{30}{2×(-\frac{1}{2})} = 30$
再用顶点纵坐标公式计算最大面积：
$S_{最大值} = \frac{4ac-b^2}{4a} = \frac{0-30^2}{4×(-\frac{1}{2})} = 450$
答：当x为30cm时，菱形风筝的面积S最大，最大面积为450cm²。
【答案】
(1) $S = -\frac{1}{2}x^2 + 30x$
(2) 当x为30cm时，菱形风筝面积最大，最大面积为450cm²
【知识点】
1. 菱形面积公式
2. 二次函数解析式
3. 二次函数最值
【点评】
本题属于几何性质与二次函数结合的基础应用题，解题核心是先通过几何面积公式建立函数关系，再结合二次函数的图象性质求解最值，能够较好地考查基础公式的掌握和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 某商品每件的进价为20元，销售期间发现，当销售单价为25元时，每天可售出120件，销售单价每降低1元，每天销售量增加10件。现商家决定降价销售，每件降价$x$元（$0＜x＜5$）。设每天的销售量为$y$件，每天销售商品获得的利润为$w$元。下列函数解析式符合题意的是（$\quad\quad$）。
A.$y=10x-120$
B.$y=-10x+120$
C.$w=(10x+120)(25-20-x)$
D.$w=(-10x+120)(25-20-x)$
答案：C
解析：
【分析】
解题需结合销售问题的基本数量关系逐步推导：第一步先推导销售量和降价的关系，第二步推导总利润和降价的关系，再和选项匹配即可。首先明确两个核心公式：①销售量=原销售量+降价带来的新增销售量；②总利润=单件利润×销售量。首先判断销售量的解析式：原销量120件，每降1元多卖10件，降价x元就多卖10x件，因此销量y=120+10x，可直接排除A、B选项。再判断利润解析式：单件利润=现售价-进价，现售价为(25-x)元，进价20元，因此单件利润为(25-x-20)=(25-20-x)元，总利润就是单件利润乘销售量，对应选项C。
【解析】
1. 推导销售量$y$的解析式：
已知原价25元时日销量为120件，每降价1元日销量增加10件，降价$x$元后日销量新增$10x$件，因此：
$y=120+10x$，可知A、B选项均错误。
2. 推导总利润$w$的解析式：
降价后每件商品的售价为$(25-x)$元，单件利润=售价-进价=$(25-x-20)=(25-20-x)$元，
结合总利润=单件利润×销售量，可得：
$w=(10x+120)(25-20-x)$，可知C选项正确，D选项错误。
【答案】
C
【知识点】
销售利润问题，列函数解析式
【点评】
本题易错点是容易混淆降价对销售量的影响，误将新增销量算成减少的销量，解题时只要抓住“降价销量上涨，涨价销量下降”的变化规律，结合利润基本公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件. 市场调查发现：若调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件. 则当商品降价销售时，每天的最大销售额为（
）.
A.2 500元
B.2 000元
C.1 800元
D.2 200元
答案：C
解析：
【分析】
要解决这个问题，首先明确销售额的计算公式：销售额=每件售价×销售量。我们可以先设降价的金额为自变量，分别表示出降价后的售价和对应的销售量，进而列出销售额关于降价金额的二次函数表达式，再结合二次函数的性质求最大值，注意自变量的取值要符合实际意义（降价金额大于0，且售价不能为负）。
【解析】
设每件商品降价$ x $元，每天的销售额为$ y $元，根据题意可知：
降价后的每件售价为$ (35 - x) $元，每天的销售量为$ (50 + 2x) $件，其中自变量$ x $的取值范围为$ 0 ＜ x ＜ 35 $（保证售价为正）。
根据销售额公式列函数关系式：
$\begin{aligned}y&=(35 - x)(50 + 2x)\\&=-2x^2 + 20x + 1750\end{aligned}$
这是一个二次函数，其中二次项系数$ a=-2 ＜ 0 $，因此函数图象开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点坐标公式，顶点的横坐标为$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2×(-2)}=5 $，$ x=5 $在$ 0 ＜ x ＜ 35 $的取值范围内，符合实际意义。
将$ x=5 $代入函数得最大销售额：
$ y=(35-5)×(50+2×5)=30×60=1800 $（元）
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 二次函数的最值
3. 销售问题等量关系
【点评】
本题是销售类最值的常考题型，解题的核心是找准售价、销售量与降价金额的对应关系，正确列出二次函数表达式，再结合二次函数的性质和自变量的实际取值范围求解即可，解题时要注意验证最值点是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
