10. 某电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每星期的销售量$y$（单位：件）与每件玩具的售价$x$（单位：元）之间满足一次函数关系：$y=-2x+320$（$100≤ x≤120$，且$x$为整数）. 求该电商平台每星期销售这款玩具所获得的最大利润.
答案：解：设每星期销售这款玩具所获得的利润为$W$元。
根据题意，总利润等于每件利润乘以销售量，可得：
$\begin{aligned}W&=(x-100)y\\&=(x-100)(-2x+320)\\&=-2x^2 + 520x - 32000\end{aligned}$
该二次函数中$a=-2＜0$，抛物线开口向下，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{520}{2×(-2)}=130$。
已知$100≤ x≤120$，且$x$为整数，该取值范围在对称轴左侧，
因此$W$随$x$的增大而增大，
当$x=120$时，$W$取得最大值：
$W_{\mathrm{max}}=(120-100)×(-2×120 + 320)=20×80=1600$
答：该电商平台每星期销售这款玩具所获得的最大利润为1600元。
解析：
【分析】
解决本题首先要明确销售利润的核心计算逻辑：总利润=单件利润×总销售量。第一步先设总利润为W元，将单件利润（售价x减去进价100元）和题目给出的销售量y与x的函数关系代入公式，即可得到W关于x的二次函数表达式。接下来求二次函数的最值，需要先判断抛物线开口方向、计算对称轴，再结合题目限定的x的取值范围，根据二次函数的增减性确定取最大值时对应的x值，最后代入计算即可。注意不能直接取顶点对应的x值，必须结合自变量的实际取值范围判断。
【解析】
设每星期销售这款玩具所获得的利润为$W$元。
根据总利润=单件利润×销售量，可得：
$\begin{aligned}W&=(x-100)y\\&=(x-100)(-2x+320)\\&=-2x^2 + 520x - 32000\end{aligned}$
该二次函数中$a=-2＜0$，抛物线开口向下，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{520}{2×(-2)}=130$。
已知$100≤ x≤120$，且$x$为整数，该取值范围在对称轴左侧，
因此$W$随$x$的增大而增大，
当$x=120$时，$W$取得最大值：
$W_{\mathrm{max}}=(120-100)×(-2×120 + 320)=20×80=1600$
【答案】
该电商平台每星期销售这款玩具所获得的最大利润为1600元。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的图象与性质；销售利润计算
【点评】
本题是二次函数在实际问题中的典型应用，解题关键是正确根据利润公式列出函数关系式，求解最值时需特别注意结合自变量的实际取值范围判断最值的对应点，避免直接代入顶点坐标计算出现错误。
【难度系数】
0.7
11. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，农贸市场规定每箱售价不得高于55元. 市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
（1）求平均每天销售量$ y $（单位：箱）关于每箱的销售价$ x $（单位：元）的函数解析式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润$ w $（单位：元）关于每箱的销售价$ x $（单位：元）的函数解析式；
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，平均每天可以获得最大利润？最大利润为多少？
答案：解：
(1) 根据题意，当售价为x元时，相比50元提高了$(x-50)$元，
则平均每天少销售$3(x-50)$箱，
因此销售量$y = 90 - 3(x - 50)$，
整理得：$y = -3x + 240$，
结合售价的限制条件，自变量取值范围是$50≤ x≤55$，
即所求函数解析式为 $\boldsymbol{y = -3x + 240\ (50≤ x≤55)}$。
(2) 平均每天的销售利润等于每箱利润乘以销售量，每箱利润为$(x-40)$元，
因此$w = (x - 40)· y = (x - 40)(-3x + 240)$，
展开整理得：$w = -3x^2 + 360x - 9600$，
结合x的取值范围，所求函数解析式为 $\boldsymbol{w = -3x^2 + 360x - 9600\ (50≤ x≤55)}$。
(3) 对于二次函数$w = -3x^2 + 360x - 9600$，
$\because a = -3 ＜ 0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x = -\frac{360}{2×(-3)} = 60$，
$\therefore$ 当$x ＜ 60$时，$w$随$x$的增大而增大，
又$\because 50≤ x≤55$，该取值范围在对称轴左侧，
$\therefore$ 当$x = 55$时，$w$取得最大值，
代入计算得：$w = -3×55^2 + 360×55 - 9600 = 1125$。
答：当每箱苹果的销售价为55元时，平均每天可以获得最大利润，最大利润为1125元。
解析：
【分析】
（1）求销售量$y$关于售价$x$的函数时，先算出售价$x$比基准售价50元高出$(x-50)$元，根据“每提价1元少卖3箱”可得出少销售的箱数，用基准销量90箱减去少卖的箱数即可得到$y$与$x$的关系式，再结合题目规定的售价范围$50≤x≤55$确定自变量取值范围。
（2）销售利润=每箱利润×销售量，每箱利润为售价$x$减去进价40元，代入第一问得到的$y$的表达式，展开整理即可得到$w$与$x$的函数解析式，自变量取值范围与第一问一致。
（3）第二问得到的$w$是关于$x$的二次函数，先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，再求出对称轴，结合$x$的取值范围判断函数在该区间内的增减性，进而找到使$w$最大的$x$值，代入计算即可得到最大利润，注意需结合售价限制条件判断最值点，不能直接取顶点横坐标。
【解析】
(1) 根据题意，当售价为$x$元时，相比50元提高了$(x-50)$元，
则平均每天少销售$3(x-50)$箱，
因此销售量$y = 90 - 3(x - 50)$，
整理得：$y = -3x + 240$，
结合售价的限制条件，自变量取值范围是$50≤ x≤55$，
即所求函数解析式为 $y = -3x + 240\ (50≤ x≤55)$。
(2) 平均每天的销售利润等于每箱利润乘以销售量，每箱利润为$(x-40)$元，
因此$w = (x - 40)· y = (x - 40)(-3x + 240)$，
展开整理得：$w = -3x^2 + 360x - 9600$，
结合$x$的取值范围，所求函数解析式为 $w = -3x^2 + 360x - 9600\ (50≤ x≤55)$。
(3) 对于二次函数$w = -3x^2 + 360x - 9600$，
$\because a = -3 ＜ 0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x = -\frac{360}{2×(-3)} = 60$，
$\therefore$ 当$x ＜ 60$时，$w$随$x$的增大而增大，
又$\because 50≤ x≤55$，该取值范围在对称轴左侧，
$\therefore$ 当$x = 55$时，$w$取得最大值，
代入计算得：$w = -3×55^2 + 360×55 - 9600 = 1125$。
答：当每箱苹果的销售价为55元时，平均每天可以获得最大利润，最大利润为1125元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y = -3x + 240\ (50≤ x≤55)}$；
(2) $\boldsymbol{w = -3x^2 + 360x - 9600\ (50≤ x≤55)}$；
(3) 当每箱苹果的销售价为55元时，平均每天可以获得最大利润，最大利润为1125元。
【知识点】
一次函数应用，二次函数利润问题，二次函数最值求解
【点评】
本题是典型的销售类函数实际应用题，考查函数解析式的建立和最值的求解，解题的易错点是忽略题目给定的售价限制，直接取二次函数顶点作为最值点，能有效考查学生结合实际条件运用函数性质解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
