8. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)。反比例函数的图象经过点D，则反比例函数的解析式是
。
答案：解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $BC// AD$，$BC=AD$。
∵ 点$B(3,1)$，$C(3,3)$，
∴ $BC⊥ x$轴，$BC=3-1=2$，
∴ $AD⊥ x$轴，$AD=2$。
∵ 点$A(1,0)$，
∴ 点D的横坐标为1，纵坐标为$0+2=2$，即$D(1,2)$。
设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$D(1,2)$代入得：$2=\frac{k}{1}$，解得$k=2$，
∴ 反比例函数的解析式是$\boldsymbol{y=\frac{2}{x}}$。
解析：
【分析】
要确定反比例函数的解析式，需先求出反比例函数图象上点D的坐标，再利用待定系数法求解。首先根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知点B、C的坐标特征，先判断BC的位置和长度，由此推导AD的位置和长度，再结合点A的坐标即可求出点D的坐标，最后代入反比例函数表达式计算k值即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $BC// AD$，$BC=AD$。
∵ 点$B(3,1)$，$C(3,3)$，
∴ $BC⊥ x$轴，$BC=3-1=2$，
∴ $AD⊥ x$轴，$AD=2$。
∵ 点$A(1,0)$，
∴ 点D的横坐标为1，纵坐标为$0+2=2$，即$D(1,2)$。
设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$D(1,2)$代入得：$2=\frac{k}{1}$，解得$k=2$，
∴ 反比例函数的解析式是$y=\frac{2}{x}$。
【答案】
$y=\frac{2}{x}$
【知识点】
平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与函数的基础综合题，解题核心是利用平行四边形的性质准确求出点D的坐标，再代入反比例函数计算即可，解题时要注意结合点的坐标特征判断线段的位置关系。
【难度系数】
0.7
9. 已知反比例函数$y=\dfrac{2k+1}{x}$。
（1）如果这个函数的图象经过点$(k, -1)$，求$k$的值；
（2）如果在这个函数图象所在的每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小，求$k$的取值范围。
答案：解：
(1) 把点$(k, -1)$代入反比例函数$y=\dfrac{2k+1}{x}$，得：
$-1=\frac{2k+1}{k}$
两边同乘$k$（$k≠0$），整理得：
$-k=2k+1$
解得：$k=-\dfrac{1}{3}$
经检验，$k=-\dfrac{1}{3}$是原方程的解。
(2) 根据反比例函数的性质，若函数图象所在的每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小，则比例系数大于0，因此：
$2k+1＞0$
解得：$k＞-\dfrac{1}{2}$
综上，(1) $k$的值为$-\dfrac{1}{3}$；(2) $k$的取值范围是$k＞-\dfrac{1}{2}$。
解析：
【分析】
（1）反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将点$(k,-1)$代入函数表达式可得到关于$k$的分式方程，解方程后检验即可得到$k$的值；（2）反比例函数的增减性由比例系数的符号决定，若每个象限内$y$随$x$的增大而减小，说明比例系数大于0，据此列不等式求解即可得到$k$的取值范围。
【解析】
(1) 把点$(k, -1)$代入反比例函数$y=\dfrac{2k+1}{x}$，得：
$-1=\frac{2k+1}{k}$
两边同乘$k$（$k≠0$），整理得：
$-k=2k+1$
解得：$k=-\dfrac{1}{3}$
经检验，$k=-\dfrac{1}{3}$是原方程的解。
(2) 根据反比例函数的性质，若函数图象所在的每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小，则比例系数大于0，因此：
$2k+1＞0$
解得：$k＞-\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1) $k=-\dfrac{1}{3}$；(2) $k＞-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、分式方程求解
【点评】
本题属于反比例函数基础常考题，第一问使用代入法求解，要注意分式方程必须检验根的有效性；第二问要准确记忆反比例函数增减性与比例系数符号的对应关系，避免混淆正负。
【难度系数】
0.8
10. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强 $ p $（单位：kPa）是气体体积 $ V $（单位：$ \mathrm{m}^3 $）的反比例函数. 已知当 $ V=0.8 \, \mathrm{m}^3 $ 时，$ p=120 \, \mathrm{kPa} $.
（1）求这个函数的解析式；
（2）当气球内气体的压强大于 128 kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体的体积应不小于多少立方米？
答案：解：
（1）设该反比例函数的解析式为$p=\frac{k}{V}(k≠0,\,V＞0)$。
将$V=0.8$，$p=120$代入解析式，得：
$120=\frac{k}{0.8}$
解得$k=96$。
∴这个函数的解析式为$p=\frac{96}{V}(V＞0)$。
（2）为保证安全，需满足$p≤128$，即：
$\frac{96}{V}≤128$
∵$V＞0$，不等式两边同乘$V$，不等号方向不变，可得：
$96≤128V$
解得$V≥0.75$。
答：为了安全起见，气球内气体的体积应不小于$0.75$立方米。
解析：
【分析】
（1）已知p是V的反比例函数，解题时先设出反比例函数的一般形式$p=\frac{k}{V}(k≠0)$，再将已知的V、p对应值代入解析式，求出未知系数k，即可得到函数解析式，同时结合体积的实际意义确定自变量V的取值范围。
（2）根据“压强大于128kPa时气球爆炸”的安全条件，可知安全状态下$p≤128$，将第（1）问得到的函数解析式代入该不等关系，结合V＞0的前提解不等式，即可得到V的取值范围，从而确定体积的最小值。
【解析】
（1）设该反比例函数的解析式为$p=\frac{k}{V}(k≠0,\,V＞0)$。
将$V=0.8$，$p=120$代入解析式，得：
$120=\frac{k}{0.8}$
解得$k=96$。
∴这个函数的解析式为$p=\frac{96}{V}(V＞0)$。
（2）为保证安全，需满足$p≤128$，即：
$\frac{96}{V}≤128$
∵$V＞0$，不等式两边同乘$V$，不等号方向不变，可得：
$96≤128V$
解得$V≥0.75$。
答：为了安全起见，气球内气体的体积应不小于$0.75$立方米。
【答案】
（1）$p=\frac{96}{V}(V＞0)$；（2）不小于$0.75$立方米
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数实际应用，一元一次不等式求解
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的应用，解题核心是先利用待定系数法求出函数解析式，再结合安全条件列不等式求解，解题时要注意自变量的实际意义，避免忽略V＞0的条件导致解不等式出错。
【难度系数】
0.8
