4. 如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'.当AB'落在AC上时，∠BAC'的度数为（
）.
A.60°
B.65°
C.70°
D.85°
答案：C
解析：
【分析】
要计算∠BAC'的度数，可将其拆分为旋转角∠BAB'与∠B'AC'的和进行求解。首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再结合旋转的性质，明确旋转前后对应角相等、旋转角相等，即可得到∠BAB'和∠B'AC'的度数，相加就能得到最终结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 80° - 65° = 35°$
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，根据旋转的性质：
$∠ B'AC' = ∠ BAC = 35°$，且AB'落在AC上，因此旋转角$∠ BAB' = ∠ BAC = 35°$
∴$∠ BAC' = ∠ BAB' + ∠ B'AC' = 35° + 35° = 70°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，旋转的性质，角的和差计算
【点评】
本题是图形旋转的基础应用题，解题的核心是熟练掌握旋转前后对应角相等、旋转角相等的性质，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则旋转后点A的对应点的坐标为
。
答案：解：设旋转后点A的对应点为A'，过点A'作A'B⊥x轴于点B。
由旋转的性质可知，$OA' = OA = 6$，$∠ AOA' = 45°$。
在$\mathrm{Rt}△ OA'B$中，$∠ A'OB=45°$，因此$△ OA'B$为等腰直角三角形，可得$OB = A'B$。
由勾股定理得：$OB^2 + A'B^2 = OA'^2$，即$2OB^2 = 6^2 = 36$，
解得$OB = A'B = 3\sqrt{2}$。
所以旋转后点A的对应点的坐标为$(3\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$。
解析：
【分析】首先利用旋转的性质可知，旋转后对应线段长度不变、旋转角为45°。要确定旋转后点的坐标，需要求出该点到x轴、y轴的距离，因此过旋转后的点向x轴作垂线构造直角三角形；结合45°角可判定该直角三角形为等腰直角三角形，再用勾股定理计算两条直角边的长度，最后根据点所在象限确定坐标符号即可。
【解析】设旋转后点A的对应点为A'，过点A'作A'B⊥x轴于点B。
由旋转的性质可知，$OA' = OA = 6$，$∠ AOA' = 45°$。
在$\mathrm{Rt}△ OA'B$中，$∠ A'OB=45°$，因此$△ OA'B$为等腰直角三角形，可得$OB = A'B$。
由勾股定理得：$OB^2 + A'B^2 = OA'^2$，即$2OB^2 = 6^2 = 36$，
解得$OB = A'B = 3\sqrt{2}$。
因为点A'在第一象限，横纵坐标均为正，因此旋转后点A的对应点坐标为$(3\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$。
【答案】$(3\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】本题是旋转与平面直角坐标系结合的常规题型，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合特殊角的性质和勾股定理求解边长，进而得到点的坐标，属于旋转章节的基础常考题。
【难度系数】0.7
6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为5，边AB在y轴上，点B(0，-2)。若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转$90°$，得到正方形$A'B'C'D'$。求点$D'$的坐标。
答案：解：
∵ 正方形ABCD的边长为5，点B(0,-2)，边AB在y轴上，
∴ 点A的坐标为(0, -2+5)，即A(0,3)。
∵ AD//x轴，AD=5，
∴ 点D的坐标为(5, 3)。
由旋转的性质得：$OD'=OD$，$∠ DOD'=90°$。
过点D作$DM⊥ x$轴于点M，过点$D'$作$D'N⊥ y$轴于点N，
则$∠ D'NO=∠ DMO=90°$，
∵ $∠ D'ON + ∠ DOM=90°$，$∠ ODM + ∠ DOM=90°$，
∴ $∠ D'ON=∠ ODM$。
在$△ D'ON$和$△ ODM$中：
$\begin{cases}∠ D'NO=∠ DMO \\∠ D'ON=∠ ODM \\OD'=OD\end{cases}$
∴ $△ D'ON ≌ △ ODM$（AAS），
∴ $D'N=DM=3$，$ON=OM=5$。
∵ 点$D'$在第二象限，
∴ 点$D'$的横坐标为$-3$，纵坐标为$5$。
答：点$D'$的坐标为$(-3,5)$。
解析：
【分析】
解题需分两步进行：第一步先求旋转前点D的坐标：已知正方形ABCD边长为5，AB在y轴上，结合点B的坐标可先求出点A的坐标，再根据AD平行于x轴、AD长度为5即可得到点D的坐标；第二步求旋转后点D'的坐标：根据旋转的性质可得OD'=OD，且∠DOD'=90°，通过过点D、D'分别向x轴、y轴作垂线构造全等直角三角形，利用全等三角形对应边相等得到D'到两坐标轴的距离，再结合D'所在象限确定坐标的符号，即可得出结果。
【解析】
∵ 正方形ABCD的边长为5，点B(0,-2)，边AB在y轴上，
∴ 点A的纵坐标为-2+5=3，横坐标为0，即A(0,3)。
∵ AD//x轴，AD=5，
∴ 点D的横坐标为0+5=5，纵坐标为3，即D(5,3)。
由旋转的性质得：$OD'=OD$，$∠ DOD'=90°$。
过点D作$DM⊥ x$轴于点M，过点$D'$作$D'N⊥ y$轴于点N，
则$∠ D'NO=∠ DMO=90°$，
∵ $∠ D'ON + ∠ DOM=90°$，$∠ ODM + ∠ DOM=90°$，
∴ $∠ D'ON=∠ ODM$。
在$△ D'ON$和$△ ODM$中：
$\begin{cases}∠ D'NO=∠ DMO \\∠ D'ON=∠ ODM \\OD'=OD\end{cases}$
∴ $△ D'ON ≌ △ ODM$（AAS），
∴ $D'N=DM=3$，$ON=OM=5$。
∵ 点$D'$在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∴ 点$D'$的横坐标为$-3$，纵坐标为$5$。
【答案】
$(-3,5)$
【知识点】
正方形的性质；旋转的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是平面直角坐标系中旋转类坐标求解的典型题型，解题核心是先确定旋转前对应点的坐标，再结合旋转的特性构造全等三角形转化线段长度，注意最终确定坐标时要结合点所在象限判断符号。
【难度系数】
0.7
1. 等边三角形绕其中心旋转一定角度后与自身重合，旋转角至少为（
）.
A.$180°$
B.$120°$
C.$60°$
D.$30°$
答案：B
解析：
【分析】要解决这道题，首先需要明确正多边形绕中心旋转后与自身重合的最小旋转角的计算逻辑：正多边形的所有顶点均匀分布在以中心为圆心的圆周上，相邻两个顶点与中心连线的夹角（即中心角）大小相等，要使旋转后图形与自身重合，至少需要旋转一个中心角的大小。我们知道周角为360°，正n边形共有n个相等的中心角，因此最小旋转角为360°除以边数n。等边三角形是正3边形，代入n=3计算即可得到结果。
【解析】正多边形绕其中心旋转后与自身重合的最小旋转角计算公式为：$\mathrm{最小旋转角}=\frac{360°}{\mathrm{正多边形的边数}}$。
等边三角形为正3边形，边数$n=3$，代入公式可得：
最小旋转角$=360°÷3=120°$。
因此本题选B选项。
【答案】B
【知识点】旋转的性质；正多边形性质；最小旋转角计算
【点评】本题属于图形旋转板块的基础题，主要考查正多边形最小旋转角的计算规律，记住正n边形的最小旋转角为$\frac{360°}{n}$即可快速得出答案。
【难度系数】0.8
