2. 如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OC⊥ AB$，垂足为D. 若$AB=8$，$OC=5$，则OD的长为（
）.
A.2
B.3
C.6
D.$\frac{5}{2}$
答案：B
解析：
【分析】
遇到圆中半径垂直弦的情况，首先想到运用垂径定理得到弦长的一半；要求OD的长度，可连接半径OA构造直角三角形，再结合勾股定理计算未知线段长度。具体步骤：①先根据垂径定理求出AD的长；②明确OA是半径，长度等于OC；③在直角三角形OAD中利用勾股定理计算OD的长度。
【解析】
连接OA，
∵OC是$\odot O$的半径，$OC=5$，
∴$OA=OC=5$，
∵$OC⊥AB$，$AB=8$，根据垂径定理（垂直于弦的直径平分弦），
∴$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
又
∵$∠ ODA=90°$，在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA^2=OD^2+AD^2$，
代入数值可得：$5^2=OD^2+4^2$，
即$25=OD^2+16$，
解得$OD^2=9$，
∵OD为线段长度，是正数，
∴$OD=3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的有关性质的基础题型，解题的关键是连接半径构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求解线段长度，这类题型是圆章节的常考基础题，需要熟练掌握解题方法。
【难度系数】
0.8
3. 如图，圆弧形桥拱的跨度$AB=12\ \mathrm{m}$，拱高$CD=4\ \mathrm{m}$，则拱桥的半径长为（
）。
A.$15\ \mathrm{m}$
B.$13\ \mathrm{m}$
C.$9\ \mathrm{m}$
D.$6.5\ \mathrm{m}$
答案：D
解析：
【分析】
本题是圆弧形拱桥半径求解的典型问题，解题思路如下：首先根据垂径定理，拱高CD所在直线过圆心且垂直平分跨度AB，可得AB的一半长度；然后设圆的半径为R，用R表示出圆心到弦AB的距离；最后将半径、半弦长、弦心距放入直角三角形中，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设拱桥所在圆的圆心为$ O $，半径为$ R\ \mathrm{m} $。
根据垂径定理，CD垂直平分AB，因此$ AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{m} $，且圆心$ O $在CD的延长线上。
弦AB到圆心的距离$ OD = OC - CD = (R - 4)\ \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $
代入对应线段长度：
$ R^2 = 6^2 + (R - 4)^2 $
展开得：
$ R^2 = 36 + R^2 - 8R + 16 $
消去$ R^2 $后化简得：
$ 8R = 52 $
解得$ R = 6.5 $
即拱桥的半径长为$ 6.5\ \mathrm{m} $。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理实际应用的基础题型，核心是将圆中的弦长、拱高、半径的对应关系转化为直角三角形的边长关系，通过列方程求解，是圆相关计算的常考题型，掌握这种几何建模方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
4. 如图，CD是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，垂足为E. 若$AB=10\ \mathrm{cm}$，$CE:ED=1:5$，则$\odot O$的半径长为（
）.
A.$5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C.$3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$
答案：C
解析：
【分析】
解题时先观察图形特征：CD是圆的直径且垂直于弦AB，首先想到垂径定理，可得到AB的一半长度；接下来根据CE和ED的比例关系，设未知数表示出各线段长度，再连接半径OA构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
连接OA，
∵ CD是$\odot O$的直径，$AB⊥CD$，
∴ 由垂径定理得：$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$。
设$CE=x\ \mathrm{cm}$，由$CE:ED=1:5$得$ED=5x\ \mathrm{cm}$，
∴ 直径$CD=CE+ED=6x\ \mathrm{cm}$，$\odot O$的半径$OA=OC=3x\ \mathrm{cm}$，
∴ $OE=OC-CE=3x-x=2x\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：
$OA^2=OE^2+AE^2$，
代入数据得：$(3x)^2=(2x)^2+5^2$，
整理得：$9x^2=4x^2+25$，
解得：$x^2=5$，$x=\sqrt{5}$（线段长度为正，舍去负根），
∴ $\odot O$的半径为$3x=3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心是将垂径定理与勾股定理结合，通过设未知数建立方程求解，是圆中求线段长度的典型考法，掌握构造直角三角形的思路即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
5.《九章算术》是我国古代数学名著，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，CD为$\odot O$的直径，弦$AB⊥ DC$，垂足为E，$ED=1$寸，$AB=10$寸，求直径CD的长。
答案：解：连接OA，
∵ AB⊥DC，CD为⊙O的直径，AB=10寸，
∴ 由垂径定理得：$AE = \frac{1}{2}AB = 5$寸。
设⊙O的半径为$r$寸，则$OA = r$寸，$OE = OD - ED = (r - 1)$寸。
在Rt△AOE中，由勾股定理得：
$OA^2 = OE^2 + AE^2$
即 $r^2 = (r - 1)^2 + 5^2$
展开整理得：$2r = 26$
∴ 直径$CD = 2r = 26$寸。
答：直径CD的长为26寸。
解析：
【分析】
题目给出圆的直径垂直于弦的条件，首先考虑用垂径定理得到弦长的一半；要求直径，可先设圆的半径为r，将直角三角形△AOE的三条边用含r的代数式表示，再借助勾股定理列方程求解半径，最后计算直径即可。
【解析】
连接OA，
∵ AB⊥DC，CD为⊙O的直径，AB=10寸，
∴ 由垂径定理可得：$AE = \frac{1}{2}AB = 5$寸。
设⊙O的半径为$r$寸，则$OA = r$寸，$OE = OD - ED = (r - 1)$寸。
在Rt△AOE中，根据勾股定理得：
$OA^2 = OE^2 + AE^2$
代入得 $r^2 = (r - 1)^2 + 5^2$
展开整理得：$r^2 = r^2 - 2r + 1 +25$，化简得$2r = 26$
∴ 直径$CD = 2r = 26$寸。
【答案】
26寸
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题以我国古代数学名著为背景，考查圆中线段长度的计算，解题的关键是熟练运用垂径定理平分弦的结论，结合勾股定理建立方程求解，是圆的性质应用的常规题型。
【难度系数】
0.7
