【分析】
首先明确三角形内心、外心的定义：内心是三角形三个角平分线的交点，外心是三角形三边垂直平分线的交点。若二者重合，说明该三角形的角平分线和三边垂直平分线完全重合，只有等边三角形满足“三线合一”，可判定该三角形为等边三角形。接下来回忆等边三角形内切圆半径r和外接圆半径R的关系：等边三角形的外心、内心都在高上，且将高分为2:1的两段，长段为外接圆半径R，短段为内切圆半径r，即R=2r。最后结合已知内切圆半径求出外接圆半径，再代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
1. 判定三角形形状：
∵ 三角形的内心与外心重合，
∴ 该三角形是等边三角形（只有等边三角形的角平分线、中线、高三线重合，使得内心和外心为同一点）。
2. 推导半径关系：
等边三角形中，外接圆半径R与内切圆半径r满足R=2r（外心将等边三角形的高分为2:1的两部分，长段为外接圆半径，短段为内切圆半径）。
3. 计算外接圆半径：
已知内切圆半径r=2，代入得R=2×2=4。
4. 计算外接圆面积：
根据圆的面积公式$S=π R^2$，代入$R=4$得$S=π × 4^2=16π$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的内心与外心；等边三角形的性质；圆的面积计算
【点评】
本题解题的核心是通过内心与外心重合判断出三角形为等边三角形，再利用等边三角形内切圆和外接圆的半径关系求解，侧重对特殊三角形性质的基础应用，掌握相关概念和性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题思路如下：第一步先明确三角形内心的定义，内心是三角形三个内角平分线的交点，因此BI、CI分别是∠ABC、∠ACB的角平分线；第二步利用三角形内角和定理，先求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和；第三步根据角平分线的性质，求出△IBC中∠IBC与∠ICB的和；最后再利用三角形内角和定理，即可求出∠BIC的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ BAC = 180° - 80° = 100°$
∵I是△ABC的内心，即三角形内角平分线的交点
∴BI平分$∠ ABC$，CI平分$∠ ACB$
∴$∠ IBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ IBC + ∠ ICB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2} × 100° = 50°$
在△IBC中，再次利用三角形内角和定理：
$∠ BIC = 180° - (∠ IBC + ∠ ICB) = 180° - 50° = 130°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的定义；角平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题的核心是掌握三角形内心的性质，结合角平分线和三角形内角和定理进行角度的转化计算，这类题型是三角形相关性质的常见考查方向。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先想到运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。我们先明确△ABC内切圆在AB、AC边上的切线长相等，再结合MN与圆相切的条件，得到M、N两点引出的切线长也分别相等，将△AMN的周长拆分后做等量替换，就能推导出周长和已知AD长度的关系，进而求出结果。
【解析】
设$\odot O$与$AC$边的切点为$F$，与直线$MN$的切点为$E$。
根据切线长定理：
1. 从点$A$引$\odot O$的两条切线$AD$、$AF$，可得$AD=AF=10\ \mathrm{cm}$；
2. 从点$M$引$\odot O$的两条切线$MD$、$ME$，可得$MD=ME$；
3. 从点$N$引$\odot O$的两条切线$NF$、$NE$，可得$NF=NE$。
$△ AMN$的周长$=AM+MN+AN$，将$MN$拆分为$ME+NE$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{周长}&=AM+ME+NE+AN\\&=AM+MD+AN+NF \quad (\mathrm{替换}ME=MD,NE=NF)\\&=AD+AF\\&=10+10=20(\mathrm{cm})\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题核心是切线长定理的应用，通过等量代换将所求三角形的周长转化为两段已知切线长的和，可知无论直线MN的位置如何变化，剪下的三角形周长都是固定值，是对圆的切线性质基础应用的考查。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题可结合切线长定理与勾股定理求解：首先根据内切圆性质，可知圆心与直角顶点C、两个切点E、F构成的四边形是正方形，可得CE、CF的长度等于内切圆半径；再结合切线长定理得到BF=BD、AE=AD，设AE长为x，用x表示出AC和AB的长度，最后在Rt△ABC中利用勾股定理列方程求出x，即可计算三角形周长。
【解析】
连接OE、OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，AD=AE，BD=BF，CE=CF，
又
∵∠C=90°，OE=OF=2，
∴四边形OECF是正方形，
∴CE=CF=2，
∵BC=5，
∴BF=BC-CF=5-2=3，故BD=BF=3。
设AE=AD=x，则AC=AE+CE=x+2，AB=AD+BD=x+3，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
代入得：$(x+2)^2 + 5^2 = (x+3)^2$
展开：$x^2 +4x +4 +25 = x^2 +6x +9$
化简得：$2x=20$，解得$x=10$。
∴AC=10+2=12，AB=10+3=13，
△ABC的周长为$12+5+13=30$。
【答案】
$\boldsymbol{30}$
【知识点】
切线长定理，勾股定理，正方形的判定
【点评】
本题是三角形内切圆的典型应用题型，解题时要善于利用切线长定理转化线段长度，结合勾股定理建立方程求解，能很好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7