【分析】
（1）解决圆的切线相关问题，常规思路是连接圆心与切点，利用切线性质得到垂直关系。本题先连接OA，可得∠OAB=90°；再结合AB=AC、OA=OC的等腰三角形条件，可推得多组相等的角，设∠ACB为x，利用三角形外角性质表示出∠AOB，最后在Rt△OAB中根据两锐角互余列方程，即可求解∠ACB的度数。
（2）先根据（1）的结论求出劣弧$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角∠AOC的度数，再代入弧长公式计算即可得到劣弧的长度。
【解析】
(1) 连接OA，
∵ AB是$\odot O$的切线，A为切点，
∴ $OA⊥ AB$，即$∠ OAB=90°$。
∵ $AB=AC$，$OA=OC$，
∴ $∠ B=∠ ACB$，$∠ OAC=∠ ACB$。
设$∠ ACB=x$，则$∠ B=x$，$∠ OAC=x$，
∴ $∠ AOB=∠ OAC+∠ ACB=2x$。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$∠ B+∠ AOB=90°$，
即$x+2x=90°$，
解得$x=30°$，
∴ $∠ ACB=30°$。
(2) 由(1)得$∠ AOB=2×30°=60°$，
∴ $∠ AOC=180°-∠ AOB=120°$。
∵ $\odot O$的半径$r=3$，
∴ 劣弧$\overset{\frown}{AC}$的长$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{120×π×3}{180}=2π$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ ACB=30°}$；(2) 劣弧$\overset{\frown}{AC}$的长为$\boldsymbol{2π}$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；弧长计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，是圆章节的常考题型，解题关键是掌握切线相关辅助线的常规作法，结合等腰三角形性质梳理角度关系求解，再套用弧长公式计算即可。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）解决圆的切线相关问题时，连接圆心和切点是常用辅助线，可得到垂直关系，构造直角三角形。本题中连接OD后得到Rt△ADO，设⊙O半径为r，即可用r表示出该直角三角形的三边，再利用勾股定理列方程求解r，进而得到直径BM的长度。
（2）首先根据∠ABC=90°可判断BC是⊙O的切线，结合AC也是切线，利用切线长定理可得CD=CB，设BC长为x，即可表示出AC的长度，再在Rt△ABC中利用勾股定理列方程求出BC的长，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 连接OD，
∵ AC是⊙O的切线，D为切点，
∴ OD⊥AC，即∠ADO=90°。
设⊙O的半径为r，则OD=r，OA=AM+MO=2+r。
在Rt△ADO中，由勾股定理得：
$AD^2 + OD^2 = OA^2$
代入AD=4，得：
$4^2 + r^2 = (2+r)^2$
展开化简：$16 + r^2 = 4 + 4r + r^2$，解得r=3。
∴ ⊙O的直径BM=2r=6。
(2)
∵ ∠ABC=90°，BM是⊙O的直径，
∴ BC⊥OB，即BC是⊙O的切线。
由切线长定理得：CD=CB。
设BC=x，则CD=x，AC=AD+CD=4+x。
由(1)得AB=AM+BM=2+6=8，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
代入得：
$8^2 + x^2 = (4+x)^2$
展开化简：$64 + x^2 = 16 + 8x + x^2$，解得x=6。
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · AB · BC = \frac{1}{2} × 8 × 6 = 24$。
【答案】
（1）$\odot O$的直径BM的长为6；（2）$△ ABC$的面积为24。
【知识点】
切线的性质；勾股定理；切线长定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础综合题，连接圆心与切点是解决切线问题的常用辅助线作法，解题过程中用设未知数列方程的思路体现了几何计算中的方程思想，熟练掌握切线相关性质和勾股定理是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7