6. 已知函数$y=mx(m≠0)$的图象与函数$y=kx+4(k≠0)$的图象的交点坐标为$P(1,3)$，则方程组$\begin{cases}y=mx, \\ y=kx-4\end{cases}$的解为 ______ 。
答案：$\begin{cases} x=-1, \\ y=-3 \end{cases}$
解析：
【分析】
一次函数图象的交点坐标同时满足两个对应的函数解析式，因此我们先将已知交点P(1,3)分别代入y=mx和y=kx+4，求出m、k的取值，再将m、k代入待解的二元一次方程组，解方程组即可得到答案。
【解析】
∵ 点P(1,3)是函数$y=mx$和$y=kx+4$的交点
∴ 将P(1,3)代入$y=mx$，得：$3 = m×1$，解得$m=3$
将P(1,3)代入$y=kx+4$，得：$3 = k×1 + 4$，解得$k=-1$
将$m=3$，$k=-1$代入方程组$\begin{cases}y=mx, \\ y=kx-4\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}y=3x \quad \mathrm{①} \\ y=-x-4 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
将①代入②，得：$3x = -x - 4$
移项合并同类项得：$4x = -4$，解得$x=-1$
把$x=-1$代入①，得：$y=3×(-1) = -3$
∴ 方程组的解为$\begin{cases} x=-1 \\ y=-3 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=-1, \\ y=-3 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组、待定系数法求解析式、解二元一次方程组
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程组的联系，解题核心是利用函数交点坐标满足对应函数解析式求出未知系数，属于基础题型，熟练掌握一次函数和方程组的对应关系就能快速解题。
【难度系数】
0.8
7. 如图，函数$y=2x+1$的图象与函数$y=mx+4$的图象交于点$P(1, b)$，与$x$轴分别交于$A$，$B$两点.
(1) 求$b$，$m$的值，并结合图象写出关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}2x - y = -1, \\mx - y = -4\end{cases}$的解；
(2) 求$△ ABP$的面积；
(3) 若垂直于$x$轴的直线$l$与一次函数$y=2x+1$的图象、$y=mx+4$的图象分别交于点$C$，$D$，且线段$CD$的长为$2$，直接写出直线$l$对应的函数表达式.
答案：(1) 把点$P(1,b)$代入$y=2x+1$,得$b=2+1=3$,把点$P(1,3)$代入$y=mx+4$,得$m+4=3$,$\therefore m=-1$. $\because$ 直线$l_1:y=2x+1$与直线$l_2:y=mx+4$相交于点$P(1,3)$,$\therefore$ 方程组$\begin{cases}2x-y=-1, \\mx-y=-4\end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=3 \end{cases}$
(2) $S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AB · h=\frac{1}{2} × \frac{9}{2} × 3=\frac{27}{4}$
(3) 设$l$对应的函数表达式为$x=a$,则交点$C$为$(a,2a+1)$,交点$D$为$(a,-a+4)$.
$\because CD=2$,$\therefore |2a+1-(-a+4)|=2$,即$|3a-3|=2$,$\therefore 3a-3=2$或$3a-3=-2$,$\therefore a=\frac{5}{3}$或$a=\frac{1}{3}$,即函数表达式为$x=\frac{1}{3}$或$x=\frac{5}{3}$
解析：
【分析】
(1) 先利用点在函数图象上的性质：点的坐标满足函数解析式，将P(1,b)代入y=2x+1求出b，再把得到的P点坐标代入y=mx+4求出m；二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，因此直接由交点坐标得到方程组的解。
(2) 求△ABP的面积先找底和高：分别令两个一次函数的y=0，求出与x轴交点A、B的坐标，得到AB的长度作为底；点P的纵坐标就是AB边上的高，代入三角形面积公式计算即可。
(3) 垂直于x轴的直线形式为x=a，代入两个一次函数得到C、D的纵坐标，线段CD的长度为两点纵坐标差的绝对值，列绝对值方程求解a即可，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 将$P(1,b)$代入$y=2x+1$，得：
$b=2×1+1=3$，即$P(1,3)$。
将$P(1,3)$代入$y=mx+4$，得：
$m+4=3$，解得$m=-1$。
两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，因此方程组$\begin{cases}2x-y=-1, \\mx-y=-4\end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$。
(2) 求A、B两点坐标：
对于$y=2x+1$，令$y=0$，得$2x+1=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，即$A(-\frac{1}{2},0)$；
对于$y=-x+4$，令$y=0$，得$-x+4=0$，解得$x=4$，即$B(4,0)$。
则$AB=4-(-\frac{1}{2})=\frac{9}{2}$，AB边上的高为P点纵坐标3，
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}× AB × 高=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$。
(3) 设直线$l$的表达式为$x=a$，则$C(a,2a+1)$，$D(a,-a+4)$，
由$CD=2$得$|(2a+1)-(-a+4)|=2$，即$|3a-3|=2$，
∴$3a-3=2$或$3a-3=-2$，解得$a=\frac{5}{3}$或$a=\frac{1}{3}$，
即直线$l$的表达式为$x=\frac{1}{3}$或$x=\frac{5}{3}$。
【答案】
(1) $b=3$，$m=-1$，方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$；
(2) $\frac{27}{4}$；
(3) $x=\frac{1}{3}$或$x=\frac{5}{3}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组；一次函数图象交点；坐标系图形面积计算
【点评】
本题属于一次函数综合基础题，考查一次函数解析式求解、函数与方程的转化关系，第三问需注意绝对值方程的多解性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
