【分析】
这是结合一次函数的行程类综合题，解题思路如下：1. 画快车的函数图象：先确定快车的4个行程节点：a h从甲地出发，2 h到达乙地，在乙地休息到3 h，4 h返回甲地，依次连接对应坐标点即可。2. 求a的值：利用快车往返路程相等，去程用时$(2-a)\ \mathrm{h}$，返程提速50%后用时1 h，列等式消去速度即可求解。3. 第(3)问①先计算两车各阶段的速度、警亭到甲地的距离，分“快车去程未到乙地、快车在乙地休息、两车返程”三个阶段，分别列两车到警亭距离相等的方程求解，注意排除行程终点。②分别表示出两车路过警亭的时间，根据时间间隔不超过$\frac{7}{6}\ \mathrm{h}$列不等式求解即可。
【解析】
(1) 快车的行程对应四个坐标点：出发时$(a,0)$、到乙地时$(2,s)$、休息结束时$(3,s)$、返回甲地时$(4,0)$，依次连接这四个点得到折线ABCD，即为快车的函数图象。
(2) 设快车去乙地的速度为$v_快$，去程路程可表示为$s=v_快·(2-a)$；返程速度为$1.5v_快$，返程用时$4-3=1\ \mathrm{h}$，返程路程可表示为$s=1.5v_快×1$。联立得$v_快(2-a)=1.5v_快$，$v_快≠0$，约去$v_快$得$2-a=1.5$，解得$a=0.5$。
(3) ① 当$s=120$时：
先计算速度：慢车往返总用时4 h，单程用时2 h，速度$v_慢=\frac{120}{2}=60\ \mathrm{km/h}$；快车去程用时$2-0.5=1.5\ \mathrm{h}$，去程速度$v_快=\frac{120}{1.5}=80\ \mathrm{km/h}$，返程提速50%后速度为$80×1.5=120\ \mathrm{km/h}$。
警亭距乙地30 km，因此距甲地$120-30=90\ \mathrm{km}$，分三个阶段讨论：
阶段1：$0.5≤ t＜2$（快车去程）：慢车到警亭距离为$|60t-90|$，快车到警亭距离为$|80(t-0.5)-90|=|80t-130|$，令二者相等：$60t-90=-(80t-130)$，解得$t=\frac{11}{7}$，符合范围；
阶段2：$2≤ t＜3$（快车在乙地休息）：快车到警亭距离恒为30 km，令$|60t-90|=30$，解得$t=2$（$t=1$不在此范围舍去），符合范围；
阶段3：$3≤ t＜4$（两车返程）：慢车到警亭距离为$|240-60t-90|=|150-60t|$，快车到警亭距离为$|480-120t-90|=|390-120t|$，令二者相等：$150-60t=-(390-120t)$，解得$t=3$（$t=4$为终点舍去），符合范围。
综上$t$的值为$\frac{11}{7}$或2或3。
② 分别表示两车去程路过警亭的时间：慢车路过警亭的时间$t_慢=\frac{s-30}{\frac{s}{2}}=\frac{2(s-30)}{s}$，快车路过警亭的时间$t_快=0.5+\frac{s-30}{\frac{2s}{3}}=\frac{1}{2}+\frac{3(s-30)}{2s}$，根据时间间隔不超过$\frac{7}{6}\ \mathrm{h}$列不等式$|t_快-t_慢|≤\frac{7}{6}$，化简求解得$s≥90$。
【答案】
(1) 如图,折线ABCD
(2) $0.5$
(3) ① $t=\frac{11}{7}$或$2$或$3$；② $s≥90$
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，一元一次方程与不等式
【点评】
本题需要结合函数图象提取车辆的运动信息，分阶段讨论运动状态是解题核心，解题时要注意验证解是否符合对应阶段的时间范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.3