15. 某市C，D两个市场分别急需蔬菜240 t和260 t，已知A蔬菜基地有蔬菜200 t，B蔬菜基地有蔬菜300 t，现将这些蔬菜全部调运至C，D两个市场. 从A地运往C，D两个市场的费用分别为每吨20元和每吨25元，从B地运往C，D两个市场的费用分别为每吨15元和每吨18元. 设从B地运往C市场的蔬菜为x t.
（1）请填写下表，并求当从两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；
（2）设从A，B两个蔬菜基地调运蔬菜的总运费为w元，求w关于x的函数表达式，并求总运费最小的调运方案.
答案：15. （1）填写表格如下：
| 蔬菜基地 | 调运蔬菜数量/t | | 蔬菜数量合计/t |
| --- | --- | --- | --- |
| | C市场 | D市场 | |
| A | $240-x$ | $x-40$ | 200 |
| B | $x$ | $300-x$ | 300 |
| 蔬菜数量合计/t | 240 | 260 | 500 |
由题意可得，$20(240-x)+25(x-40)=15x+18(300-x)$，解得$x=200$
（2）由题意可得，$w=20(240-x)+25(x-40)+15x+18(300-x)=2x+9200$，$\therefore w$随$x$的增大而增大. $\because \begin{cases} 240-x≤200, \\ x≤240 \end{cases}$，$\therefore 40≤x≤240$，$\therefore$ 当$x=40$时，$w$取得最小值，此时$w=9280$，$240-x=200$，$x-40=0$，$300-x=260$，总运费最小的调运方案是A地运往C市场200 t，运往D市场0 t，B地运往C市场40 t，运往D市场260 t。
解析：
【分析】
（1）解决第一问先根据总量关系填调运量表：C市场总需求240t，B地运往C市场x t，因此A地运往C市场的量为(240-x)t；A基地共有200t蔬菜，因此A地运往D市场的量为200-(240-x)=(x-40)t；B基地共有300t蔬菜，因此B地运往D市场的量为(300-x)t。填完表格后分别计算A、B两基地的总运费，令二者相等列一元一次方程，求解即可得到x的值。
（2）第二问总运费w是A、B两基地的运费之和，将各段运费相加化简即可得到w关于x的函数表达式；首先根据调运量不能为负列出不等式组，确定x的取值范围，再结合一次函数的增减性，找到w取最小值时对应的x值，进而得到最优调运方案。
【解析】
（1）表格填写：A地运往C市场$\boldsymbol{240-x}$，A地运往D市场$\boldsymbol{x-40}$，B地运往D市场$\boldsymbol{300-x}$。
由题意得A基地总运费为$20(240-x)+25(x-40)$，B基地总运费为$15x+18(300-x)$，令二者相等列方程：
$20(240-x)+25(x-40)=15x+18(300-x)$
展开化简得：$5x+3800=-3x+5400$，解得$x=200$。
（2）总运费w为两基地运费之和：
$\begin{aligned}w&=20(240-x)+25(x-40)+15x+18(300-x)\\&=2x+9200\end{aligned}$
根据调运量非负列不等式组$\begin{cases}240-x≥0\\x-40≥0\end{cases}$，解得$40≤ x≤240$。
函数$w=2x+9200$中$k=2＞0$，w随x的增大而增大，因此当$x=40$时w取得最小值，此时：
A地运往C市场$240-40=200\ \mathrm{t}$，运往D市场$40-40=0\ \mathrm{t}$；
B地运往C市场$40\ \mathrm{t}$，运往D市场$300-40=260\ \mathrm{t}$。
【答案】
（1）表格依次填$240-x$、$x-40$、$300-x$，运费相等时$x=200$；
（2）$w=2x+9200\ (40≤ x≤240)$，总运费最小的调运方案为：A地运往C市场200t，运往D市场0t，B地运往C市场40t，运往D市场260t。
【知识点】
一次函数的应用，一元一次方程的应用，不等式组的应用
【点评】
本题是典型的调运类实际应用题，综合考查了代数式表示、方程求解、一次函数增减性及不等式组求取值范围的知识，解题时要注意调运量非负的隐含条件，避免因忽略取值范围导致错误。
【难度系数】
0.6
16. 如图，在长方形电子屏ABCD中，AD=16 m，AB=9 m，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点C出发沿着折线CD—DA—AB，以2 m/s的速度匀速运动，O为BC的中点，连接OP，随着点P的移动，画面逐渐展开，当点P运动到点B时，画面全部展开.
（1）直接写出展开的画面面积$S\ \mathrm{m}^2$关于点P的运动时间$t\ \mathrm{s}$的函数表达式，并写出自变量$t$的范围；
（2）当展开的画面面积达到电子屏面积的$\frac{1}{3}$时开始播放广告语，播放时间持续8 s，求播放结束时展开的画面面积.
答案：16. （1）由题意，得$BC=AD=16$，$CD=AB=9$，$OC=OB=8$，当$0≤t≤4.5$时，点$P$在$CD$上，$CP=2t$，$S=\frac{1}{2}×8×2t=8t$；当$4.5＜t≤12.5$时，点$P$在$DA$上，$DP=2t-9$，$S=\frac{1}{2}(8+2t-9)×9=9t-\frac{9}{2}$；当$12.5＜t≤17$时，点$P$在$AB$上，$BP=34-2t$，$S=16×9-\frac{1}{2}×8×(34-2t)=8t+8$. $S=\begin{cases} 8t(0≤t≤4.5), \\ 9t-\frac{9}{2}(4.5＜t≤12.5), \\ 8t+8(12.5＜t≤17) \end{cases}$
（2）当$S=16×9×\frac{1}{3}=48$时，$9t-\frac{9}{2}=48$，解得$t=\frac{35}{6}$，当$t=\frac{35}{6}+8=\frac{83}{6}$时，$\because 12.5＜\frac{83}{6}≤17$，$\therefore S=8×\frac{83}{6}+8=\frac{356}{3}$，答：播放结束时展开的画面面积为$\frac{356}{3}\ \mathrm{m}^2$。
解析：
【分析】
这是一道结合动点的分段函数几何应用题，解题思路如下：①先确定动点P的三个运动阶段：沿CD、DA、AB运动，先算出每个阶段的时间范围，再用含t的式子表示对应线段长度，结合图形特征分别用三角形面积公式、梯形面积公式、总面积减空白面积的方法求出各段的面积S的表达式；②第二问先计算出电子屏面积的$\frac{1}{3}$，判断该面积对应的t所在的分段，求出开始播放的时间，加8秒后判断结束时间所属的分段，代入对应解析式计算即可，注意每一步都要验证自变量是否在对应区间内，避免代错解析式。
【解析】
（1）在长方形$ABCD$中，$BC=AD=16\ \mathrm{m}$，$CD=AB=9\ \mathrm{m}$，$\because O$是$BC$中点，$\therefore OC=OB=16÷2=8\ \mathrm{m}$。
根据点P的运动位置分三段讨论：
①当$0\le t\le4.5$时，点$P$在$CD$上运动，$CP=2t$，阴影部分为直角三角形：
$S=\frac{1}{2}× OC× CP=\frac{1}{2}×8×2t=8t$；
②当$4.5＜ t\le12.5$时，点$P$在$DA$上运动，$DP=2t-9$，阴影部分为直角梯形：
$S=\frac{1}{2}×(DP+OC)× CD=\frac{1}{2}×(2t-9+8)×9=9t-\frac{9}{2}$；
③当$12.5＜ t\le17$时，点$P$在$AB$上运动，$BP=34-2t$，阴影部分面积为长方形面积减空白三角形面积：
$S=16×9-\frac{1}{2}× OB× BP=144-\frac{1}{2}×8×(34-2t)=8t+8$。
（2）电子屏总面积为$16×9=144\ \mathrm{m}^2$，面积的$\frac{1}{3}$为$144×\frac{1}{3}=48\ \mathrm{m}^2$。
当$t=4.5$时，$S=8×4.5=36＜48$；当$t=12.5$时，$S=9×12.5-\frac{9}{2}=108＞48$，因此$S=48$属于第二阶段，代入$9t-\frac{9}{2}=48$，解得$t=\frac{35}{6}$。
播放结束时$t=\frac{35}{6}+8=\frac{83}{6}$，$\because12.5＜\frac{83}{6}\le17$，属于第三阶段，代入$S=8t+8$得：
$S=8×\frac{83}{6}+8=\frac{356}{3}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
（1）$S=\begin{cases} 8t(0≤t≤4.5) \\ 9t-\dfrac{9}{2}(4.5＜t≤12.5) \\ 8t+8(12.5＜t≤17) \end{cases}$
（2）$\dfrac{356}{3}\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
分段函数，动点面积计算，一次函数应用
【点评】
本题是典型的动点类分段函数应用题，解题核心是根据动点的运动位置正确划分自变量区间，结合几何面积公式推导对应解析式，代入求值时要注意验证自变量所属区间，避免错代公式，同时考察了分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.65
