【分析】
（1）第一问未给出a、b的具体值，已知a+b的和与ab的积，求a²+b²可联想完全平方公式的变形关系：a²+b²=(a+b)²-2ab，采用整体代入的方法计算即可，无需单独求解a、b的数值。
（2）判断三角形形状可结合三边的平方关系分析，根据勾股定理的逆定理，若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。先计算c²的取值，再和第一问求得的a²+b²对比即可得出结论。
【解析】
（1）
∵ $a+b=3$，$ab=1$
∴ 根据完全平方公式变形可得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×1=9-2=7$
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵ $c=\sqrt{7}$，
∴ $c^2=(\sqrt{7})^2=7$
由（1）可知$a^2+b^2=7$，因此$a^2+b^2=c^2$
根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形。
【答案】
（1）$a^2+b^2=7$；（2）△ABC是直角三角形。
【知识点】
完全平方公式，勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查整体代入的代数求值思想和直角三角形的判定方法，解题时无需单独求出a、b的具体值，熟练掌握完全平方公式的变形和勾股逆定理的应用即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
要求△EFG的面积，已知底FG的长度，只需要求出FG边上的高即可。我们可以过顶点E作FG的垂线，将原三角形分成两个直角三角形，两个直角三角形共享这条高，因此可以利用勾股定理分别表示出高的平方，建立方程求解底边被高分成的两段长度，再计算出高的长度，最后代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
过点E作EH⊥FG，垂足为H。
在Rt△EFH 和Rt△EGH 中，由勾股定理，得：
$EH^2=EF^2−FH^2$，$EH^2=EG^2−GH^2$
∴ $EG^2−GH^2=EF^2−FH^2$
设 $FH=x$，则 $GH=14−x$。
∵ $EF=15$，$FG=14$，$EG=13$，
∴ $13^2−(14−x)^2=15^2−x^2$
展开计算得：$169-(196-28x+x^2)=225-x^2$
整理后解得 $x=9$。
∴ $EH=\sqrt{15^2−9^2}=12$，
∴ $S_{△EFG}=\frac{1}{2}×FG · EH=\frac{1}{2}×14×12=84$。
【答案】
△EFG 的面积为 84
【知识点】
勾股定理、三角形面积计算、方程法解几何问题
【点评】
本题是已知三角形三边求面积的典型题型，解题的关键是作高构造直角三角形，利用公共高的等量关系结合勾股定理列方程求解，这种将几何问题转化为方程问题的思路在几何计算中应用非常广泛，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先将实际问题转化为直角三角形的数学模型：
(1) 要求风筝高度AD，AD可拆分为AC与CD两段之和，CD是手到地面的已知高度1.7m，仅需在Rt△ABC中利用勾股定理，结合已知的斜边AB和直角边BC的长度，求出另一条直角边AC的长度，即可计算得到AD。
(2) 风筝上升12m后，BC长度不变，竖直方向的直角边变为原AC长度加12m，再次利用勾股定理求出新的风筝线总长度，减去原线长即可得到需要再放出的线长。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=15\ \mathrm{m}$，$AB=17\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{m}$
已知手到地面的高度$CD=1.7\ \mathrm{m}$，因此$AD=AC+CD=8+1.7=9.7\ \mathrm{m}$。
(2) 风筝沿$DA$方向再上升12m后，风筝到手的竖直高度为$8+12=20\ \mathrm{m}$，$BC$长度仍为15m，设此时风筝线长为$A'B$，在$\mathrm{Rt}△ A'BC$中：
$A'B=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25\ \mathrm{m}$
则需要再放出的线长为$25-17=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 风筝的高度$AD$为$9.7\ \mathrm{m}$；
(2) 放风筝者应该再放出$8\ \mathrm{m}$的风筝线。
【知识点】
勾股定理，实际问题建模，线段和差计算
【点评】
本题结合放风筝的生活场景考查勾股定理的实际应用，解题核心是准确将实际场景中的量对应到直角三角形的边，灵活运用勾股定理计算线段长度，题目贴合生活，能有效锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.8