【分析】
要解决该问题，首先明确居民楼受噪声影响的临界条件：卡车到居民楼A的距离等于100m，据此找到两个临界点：开始受影响的点C和结束受影响的点D，C、D之间的路程就是卡车行驶时产生噪声影响的总路程。已知A到MN的垂直距离为80m，可构造直角三角形，利用勾股定理求出单段临界路程CB，再结合等腰三角形三线合一的性质得到总影响路程CD，最后用总路程除以卡车行驶速度即可求出噪声影响的总时长。
【解析】
解：设卡车行驶到C处时居民楼开始受到噪声影响，行驶到D处时噪声影响结束，此时CA=DA=100m。
由题意得AB⊥MN，AB=80m，
在Rt△ABC中，根据勾股定理：
$CB=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{100^2-80^2}=60(m)$
∵AB⊥CD，AC=AD，
∴CD=2CB=120m
已知卡车速度为5m/s，则噪声影响时间为：$120÷5=24(s)$
【答案】
如图,设卡车开到 C 处居民楼开始受到影响,行驶到 D 处时居民楼受噪声的影响结束,则有 CA=DA=100 m;在Rt△ABC 中,CB=$\sqrt{100^2−80^2}=60(m)$,
∴ CD=2CB=120 m.所以该居民楼受影响的时间为 120÷5=24(s)
【知识点】
勾股定理；等腰三角形性质；行程问题计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的计算问题，准确找到噪声影响的路程范围，能够锻炼学生将知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
证明勾股定理常用面积法，核心思路是对同一个图形用两种不同方式计算面积，根据面积相等建立等式，化简后即可推导出$a^2+b^2=c^2$。本题可选择四边形$ABED$作为研究对象，它有两种面积拆分方式：一是拆分为$△ ABE$和$△ ADE$，二是拆分为$△ ADB$和$△ DEB$。首先先确定相关线段长度：四边形$ACFE$是边长为$b$的正方形，故$CF=b$，结合$CB=a$可得$BF=b-a$；两个直角三角形全等，故$AB=AD=c$，$DE=a$，且$∠ BAD=90°$，为后续面积计算做准备。
【解析】
第一步：用第一种拆分方式计算四边形$ABED$的面积
$S_{四边形ABED}=S_{△ ABE}+S_{△ ADE}$
其中$S_{△ ABE}=\frac{1}{2} · AE · AC = \frac{1}{2}b^2$，$S_{△ ADE}=\frac{1}{2} · AE · DE = \frac{1}{2}ab$
代入得：$S_{四边形ABED}=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab$
第二步：用第二种拆分方式计算四边形$ABED$的面积
$S_{四边形ABED}=S_{△ ADB}+S_{△ DEB}$
其中$∠ BAD=90°$，$S_{△ ADB}=\frac{1}{2} · AB · AD = \frac{1}{2}c^2$，$△ DEB$的底为$a$，高为$BF=b-a$，故$S_{△ DEB}=\frac{1}{2}a(b-a)$
代入得：$S_{四边形ABED}=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$
第三步：建立等式并化简
因为两种方式表示的是同一个四边形的面积，因此：
$\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$
两边同时乘2消去分母：$b^2+ab=c^2+ab-a^2$
两边同时减去$ab$，整理可得：$a^2+b^2=c^2$
【答案】
已证得勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$成立。
【知识点】
勾股定理的证明、面积割补法、三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的经典证明题型，借助数形结合的思想，通过同一图形面积的不同表达构造等量关系，化简后得到结论。解题的关键是合理对图形进行割补，准确计算各部分的面积，避免线段长度取值错误。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 先观察图形，△ABC和△EDC均为直角三角形，已知AB、DE的长度，BD总长为12，设CD=x，可得BC=12-x，分别用勾股定理表示出AC、CE的长度，相加即可得到AC+CE的表达式。
(2) 根据“两点之间线段最短”，当A、C、E三点共线时，AC+CE的和最小，等于线段AE的长度；构造辅助线将AE放在直角三角形中，用勾股定理即可求出最小值。
(3) 类比第(2)问的几何模型，将代数式的两个根号分别对应两个直角三角形的斜边，构造符合条件的图形，将代数式的最值转化为线段的最值，再用勾股定理计算即可。
【解析】
(1)
∵ AB⊥BD，AB=3，CD=x，BD=12，
∴ BC=12−x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+(12-x)^2}=\sqrt{9+(12−x)^2}$，
∵ ED⊥BD，DE=2，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{x^2+2^2}=\sqrt{x^2+4}$，
∴ $AC+CE=\sqrt{9+(12−x)^2}+\sqrt{x^2+4}$。
(2) 根据两点之间线段最短，当点C是AE和BD的交点时，AC+CE的值最小。
如图①，过点A作AF⊥AB，交ED的延长线于点F，易得四边形ABDF为矩形，
∴ AF=BD=12，EF=DE+DF=DE+AB=2+3=5，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$，
即AC+CE的最小值为13。
(3) 如图②，仿照(2)的模型，作BD=8，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=5，ED=1，设CD=x，则BC=8-x，连接AE交BD于点C，此时$AE=AC+CE=\sqrt{(8-x)^2+5^2}+\sqrt{x^2+1^2}=\sqrt{(8-x)^2+25}+\sqrt{x^2+1}$，即AE的长度就是代数式的最小值。
过点A作AF⊥AB交ED的延长线于点F，易得四边形ABDF为矩形，
∴ AF=BD=8，EF=DE+DF=DE+AB=1+5=6，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
即代数式的最小值为10。
【答案】
(1) $\sqrt{9+(12−x)^2}+\sqrt{x^2+4}$
(2) 当C为AE与BD的交点时，AC+CE的值最小，最小值为13
(3) 最小值为10

【知识点】
勾股定理；最短路径问题；数形结合思想
【点评】
本题将几何最值与代数式最值结合考查，需要熟练掌握勾股定理的应用，理解最短路径的构造原理，同时要学会类比迁移，将代数问题转化为几何问题求解。
【难度系数】
0.6