10. 如图，在等边三角形纸片ABC中，点E在边AC上，点F在边AB上，沿EF折叠使点A落在边BC上的点D处，若∠BFD=80°，则∠DEF=
70
°。
答案：10. 70
解析：
【分析】
解题时首先回忆等边三角形的性质，等边三角形每个内角均为60°；再结合折叠的性质，折叠前后对应角相等，可得∠EDF=∠A=60°，∠AFE=∠DFE。接下来根据平角的定义，由已知∠BFD的度数求出∠AFD的度数，即可得到∠DFE的度数，最后利用三角形内角和为180°，就能计算出∠DEF的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
由折叠的性质可知△AEF≌△DEF，
∴∠EDF=∠A=60°，∠AFE=∠DFE，
∵∠BFD=80°，∠AFD+∠BFD=180°，
∴∠AFD=180°-80°=100°，
∴∠DFE=½∠AFD=½×100°=50°，
在△DEF中，根据三角形内角和定理：
∠DEF=180°-∠EDF-∠DFE=180°-60°-50°=70°。
【答案】
70
【知识点】
等边三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，核心是抓住折叠前后角度不变的特点，结合等边三角形内角的特征，利用平角和三角形内角和关系即可求解，解题时要注意对应角不要找错。
【难度系数】
0.7
11. 已知a，b，c是△ABC的三边，且$a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc$，则△ABC是（
C
）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
答案：11. C
解析：
【分析】
首先观察已知等式的结构，等式左右两边同时包含三边的平方项与两两乘积项，符合完全平方公式的变形特征。我们可以通过给等式两边同乘2，将式子变形为可以配方的形式，再利用平方的非负性得到三边的数量关系，进而判断三角形的形状。
【解析】
对已知等式$a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc$两边同时乘2，得：
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2ab + 2ac + 2bc$
将等式右边的项全部移到左边，整理得：
$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) + (b^2 - 2bc + c^2) = 0$
根据完全平方公式，上式可化为：
$(a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2 = 0$
因为任意数的平方都是非负数，三个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此：
$a-b=0$，$a-c=0$，$b-c=0$
即$a=b=c$，所以$△ ABC$是等边三角形。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，等边三角形判定
【点评】
本题是通过代数式变形判断三角形形状的典型题型，解题核心是掌握完全平方公式的配方法则，通过配方将等式转化为非负数和为0的形式，进而推导得到三边的等量关系，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，点B，P，Q在同一条直线上，∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，△APQ是什么形状的三角形？证明你的结论.
答案：12. $△ APQ$ 为等边三角形. 因为$△ ABC$ 为等边三角形,所以 $AB=AC$. 所以$△ ABP≌△ ACQ$(SAS),则$AP=AQ,∠ BAP=∠ CAQ$. 因为$∠ BAC=∠ BAP+∠ PAC=60°$,所以$∠ PAQ=∠ CAQ+∠ PAC=60°$,所以$△ APQ$ 是等边三角形
解析：
【分析】
要判断△APQ的形状，可按以下思路推导：第一步，结合已知等边△ABC的性质，得到AB=AC，再结合题目给出的∠ABP=∠ACQ、BP=CQ的条件，可通过SAS判定△ABP和△ACQ全等；第二步，利用全等三角形的性质，得到对应边AP=AQ、对应角∠BAP=∠CAQ；第三步，结合等边△ABC的∠BAC=60°，通过角的和差关系推导∠PAQ的度数，最后根据等边三角形的判定定理即可得出结论。
【解析】
△APQ是等边三角形，证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°。
在△ABP和△ACQ中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠ABP=∠ACQ \\BP=CQ\end{array} $
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ。
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°。
又
∵AP=AQ，
∴△APQ是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
【答案】
△APQ是等边三角形
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题核心是通过已知条件找到全等三角形，利用全等的性质得到边、角的等量关系，再结合等边三角形的判定定理推导结论，熟练掌握全等和等边三角形的相关定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
13. 在等边三角形ABC中，E是边AB上的动点，点E与点A，B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED.
（1）如图①，若E是AB的中点，求证：BD=AE.
（2）如图②，若E不是AB的中点，则(1)中的结论“BD=AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE的数量关系；若成立，请加以证明.
答案：13. （1）因为$△ ABC$ 是等边三角形,所以$∠ ABC=∠ ACB=60°$,因为点 E 是AB 的中点,所以 CE 平分$∠ ACB,AE=BE$,所以$∠ BCE=30°$,因为$ED=EC$,所以$∠ D=∠ BCE=30°$. 因为$∠ ABC=∠ D+∠ BED$,所以$∠ BED=30°$,所以$∠ D=∠ BED$,则 $BD=BE$. 故 $AE=DB$ （2）$AE=DB$. 理由:过点 E 作 $EF// BC$ 交 AC 于点 F. 所以$∠ AEF=∠ ABC,∠ AFE=∠ ACB$. 因为$△ ABC$ 是等边三角形,所以$∠ ABC=∠ ACB=∠ A=60°,AB=AC=BC$,所以$∠ AEF=∠ ABC=60°,∠ AFE=∠ ACB=60°$,即$∠ AEF=∠ AFE=∠ A=60°$,所以$△ AEF$ 是等边三角形. 所以$∠ DBE=∠ EFC=120°,∠ D+∠ BED=∠ FCE+∠ ECD=60°$. 因为 $DE=EC$,所以$∠ D=∠ ECD$,所以$∠ BED=∠ ECF$. 所以$△ DEB≌△ ECF$(AAS),所以 $DB=EF$,所以 $AE=BD$
解析：
【分析】
（1）要证BD=AE，已知E是AB中点可得AE=BE，因此只需证明BD=BE即可。首先利用等边三角形的性质结合中线的特点，得到CE平分∠ACB，求出∠BCE的度数；再结合ED=EC得到∠D的度数，利用三角形外角的性质推导∠BED的度数，通过等角对等边得到BD=BE，即可完成证明。
（2）结论仍然成立，要证BD=AE，可通过构造辅助线转化线段关系：过点E作EF//BC交AC于F，先证明△AEF是等边三角形得到AE=EF，再证明△DEB和△ECF全等，得到BD=EF，通过等量代换即可得BD=AE。
【解析】
（1）证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵点E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB，且AE=BE，
∴∠BCE=30°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠ABC是△BED的外角，
∴∠ABC=∠D+∠BED，即60°=30°+∠BED，
解得∠BED=30°，
∴∠D=∠BED，
∴BD=BE，
又
∵AE=BE，
∴BD=AE。
（2）“BD=AE”的结论成立，证明如下：
过点E作$EF// BC$交AC于点F，
∴$∠AEF=∠ABC$，$∠AFE=∠ACB$，
∵△ABC是等边三角形，
∴$∠ABC=∠ACB=∠A=60°$，$AB=AC=BC$，
∴$∠AEF=∠AFE=∠A=60°$，
∴△AEF是等边三角形，
∴$AE=EF$，$∠EFC=180°-∠AFE=120°$，
∵$∠DBE=180°-∠ABC=120°$，
∴$∠DBE=∠EFC$，
∵$ED=EC$，
∴$∠D=∠ECD$，
∵$∠D+∠BED=∠ABC=60°$，$∠FCE+∠ECD=∠ACB=60°$，
∴$∠BED=∠ECF$，
在△DEB和△ECF中：
$\begin{cases}∠DBE=∠EFC \\∠BED=∠ECF \\ED=EC\end{cases}$
∴$△ DEB≌△ ECF(\mathrm{AAS})$，
∴$DB=EF$，
又
∵$EF=AE$，
∴$BD=AE$。
【答案】
（1）BD=AE成立，证明见解析；（2）结论成立，BD=AE。
【知识点】
等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于等边三角形综合题，第一问直接利用等边三角形三线合一的性质即可推导，第二问的核心是构造平行线得到等边三角形，通过全等转化线段关系，能有效锻炼几何辅助线构造能力和逻辑推理能力，是等腰、等边三角形性质应用的典型习题。
【难度系数】
0.6
