【分析】
要证明DC=BE，可通过中间量DE进行等量代换推导。首先根据已知条件“G是CE中点，DG⊥CE”，可判断DG是CE的垂直平分线，利用垂直平分线的性质能得到DE=DC；接下来只需证明DE=BE即可，结合CE是中线可知E是AB中点，AD是高说明△ABD是直角三角形，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可推出DE=BE，最终通过等量代换得到结论。
【解析】
证明：
1.
∵G是CE的中点，DG⊥CE，
∴DG是线段CE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得DE=DC。
2.
∵CE是△ABC的中线，
∴E是AB的中点。
又
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，△ABD是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得DE=BE。
3. 结合DE=DC、DE=BE，通过等量代换可得DC=BE。
【答案】
因为点G是CE的中点,DG⊥CE,所以DE=DC. 又CE是中线,所以AE=BE,又AD是高,故DE=BE,所以DC=BE
【知识点】
线段垂直平分线性质；直角三角形斜边中线性质；三角形的中线和高
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是找到中间线段DE搭建等量关系，需要学生准确识别垂直平分线、直角三角形斜边中线两类模型，熟练运用对应性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 先确定点P的运动路程：点P从A向B运动，速度为1cm/s，t s后运动的路程AP=t cm，结合AB的总长度，用AB减去AP即可得到BP的长度。
(2) 当Q在BC上运动时，先得到BQ的长度为2t cm，△PQB中∠B为直角，若为等腰三角形，只能是两条直角边BP=BQ，据此列方程求解即可，注意验证t的范围符合Q在BC上的要求。
(3) 当Q在CA上运动时，分两种情况讨论：①若以BC为底边，则等腰△BCQ的腰为BQ=CQ，通过角的关系推导可得Q为AC中点，算出Q运动的总路程后除以速度得时间；②若以BQ为底边，则等腰△BCQ的腰为BC=CQ，算出总路程后除以速度得时间，两种情况的结果都要验证是否在Q在CA上的时间范围内。
【解析】
(1) 点P的运动速度为1 cm/s，出发t s后，AP = t cm，
∵AB=16 cm，
∴BP = AB - AP = (16 - t) cm。
(2) 当点Q在边BC上运动时，运动时间t满足$0 ≤ t ≤ 12÷2 = 6$，
此时BQ = 2t cm，
∵∠B=90°，△PQB为等腰三角形，
∴只能是BP=BQ（直角为顶角，两条直角边为腰），
列方程得：$16 - t = 2t$，
解得$t = \frac{16}{3}$，
∵$\frac{16}{3} ＜ 6$，符合Q在BC上的要求，
∴出发$\frac{16}{3}$ s后，△PQB是等腰三角形。
(3) 当点Q在边CA上运动时，运动时间t满足$6 ＜ t ≤ (12+20)÷2 = 16$，分两种情况：
① 当△BCQ以BC为底边时，有BQ=CQ，
∴∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠C + ∠A = 90°，∠CBQ + ∠ABQ = 90°，
∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ = $\frac{1}{2}$AC = 10 cm，
点Q运动的总路程为$BC + CQ = 12 + 10 = 22$ cm，
∴$t = 22÷2 = 11$ s，符合$6 ＜ 11 ＜16$；
② 当△BCQ以BQ为底边时，有$BC=CQ=12$ cm，
点Q运动的总路程为$BC + CQ =12 +12 =24$ cm，
∴$t =24÷2 =12$ s，符合$6 ＜12 ＜16$；
综上，t为11或12 s。
【答案】
(1) $\boxed{16-t}$
(2) $\boxed{\frac{16}{3}}$秒
(3) $\boxed{11}$或$\boxed{12}$
【知识点】
等腰三角形的判定；动点问题；直角三角形的性质
【点评】
本题结合动点场景考察等腰三角形的判定，解题时要注意根据动点的运动路径确定时间的取值范围，针对等腰三角形的底边不同进行分类讨论，避免漏解，同时体现了数形结合和分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.65