12. 如图，在△ABC中，已知AB＞AC，AD⊥BC. 求证：BD＞DC.
(第12题)
答案：因为$AB＞AC$，所以$∠B＜∠C$. 因为$∠B+∠BAD=∠C+∠CAD=90°$，所以$∠BAD＞∠CAD$，所以可作$∠DAE=∠CAD$，其中点$E$落在线段$BD$上. 根据$AD$是$△AEC$的角平分线、高，可知$AD$也是中线，所以$ED=DC$. 而$BD=BE+ED$，所以$BD＞DC$
解析：
【分析】
要证明BD＞DC，可通过构造等腰三角形将DC转化为BD上的一段线段，借助线段和的关系比较大小。首先利用三角形大边对大角的性质，由AB＞AC得到∠B＜∠C；再结合AD⊥BC的直角条件，根据直角三角形两锐角互余推出∠BAD＞∠CAD；接着构造等角得到等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质得到ED=DC，最后通过BD=BE+ED即可推导出结论。
【解析】
证明：
∵ 在△ABC中，AB＞AC，
∴ ∠B＜∠C（三角形中大边对大角）。
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°，
∴ ∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°（直角三角形两锐角互余），
∴ ∠BAD＞∠CAD。
在∠BAD内部作∠DAE=∠CAD，射线AE交BD于点E，
在△AEC中，AD平分∠EAC，且AD⊥EC，
∴ AD是等腰△AEC底边EC上的中线（等腰三角形三线合一），
∴ ED=DC。
又
∵ BD=BE+ED，且BE＞0，
∴ BD=BE+DC＞DC，
即BD＞DC。
【答案】
BD＞DC，得证。
【知识点】
三角形大边对大角；直角三角形两锐角互余；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是三角形线段不等关系的典型证明题，核心是通过构造等腰三角形将分散的待比较线段转化到同一直线上，利用线段和的性质判断大小，体现了几何证明中的转化思想，是这类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.6
13. 如图，在$△ ABC$中，$D$为边$BC$的中点，$DE ⊥ BC$，垂足为$D$，交$∠ BAC$的平分线于点$E$，$EF ⊥ AB$，垂足为$F$，$EG ⊥ AC$，交$AC$的延长线于点$G$，线段$BF$与线段$CG$的长有怎样的大小关系？证明你的结论.
答案：$BF=CG$，证明：连接$EB,EC$，因为$AE$是$∠BAC$的平分线，且$EF⊥AB$，垂足为$F$，$EG⊥AC$，垂足为$G$，所以$EF=EG$. 又因为$ED⊥BC$，垂足为$D$，$D$是$BC$的中点，所以$EB=EC$. 所以$Rt△EFB≌Rt△EGC(HL)$，故$BF=CG$
解析：
【分析】
要判断BF和CG的大小关系，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先观察已知条件：AE是∠BAC的平分线，且有EF⊥AB、EG⊥AC，可联想到角平分线的性质得到EF=EG；再结合D是BC中点且DE⊥BC，可知DE是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得EB=EC；此时BF、CG分别在两个直角三角形中，可通过HL判定直角三角形全等，从而得到两条线段的等量关系。
【解析】
结论：$BF=CG$，证明如下：
1. 连接$EB$、$EC$。
2. 因为$AE$是$∠BAC$的平分线，$EF⊥AB$，$EG⊥AC$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$EF=EG$。
3. 因为$D$为$BC$的中点，且$DE⊥BC$，所以$DE$是线段$BC$的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$EB=EC$。
4. 在$Rt△EFB$和$Rt△EGC$中：
$\begin{cases}EF=EG \\EB=EC\end{cases}$
所以$Rt△EFB≌Rt△EGC(\mathrm{HL})$。
5. 根据全等三角形对应边相等，可得$BF=CG$。
【答案】
$BF=CG$
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形全等判定
【点评】
本题的核心是通过添加辅助线构造全等三角形，需要学生能根据已知条件对应联想到相关几何性质，将分散的条件整合到两个三角形中，通过全等证明线段相等，是几何证明的典型考法。
【难度系数】
0.7
