10. 求下列各数的算术平方根：
(1) 0；
(2) 1；
(3) $\frac{1}{9}$；
(4) $(-0.3)^2$。
答案：10. (1) 0的算术平方根是0 (2) 1的算术平方根是1 (3) $\frac{1}{9}$的算术平方根是$\frac{1}{3}$ (4) $(-0.3)^2$的算术平方根是0.3
解析：
【分析】
解题前先明确算术平方根的定义：如果一个非负数x的平方等于a，即$x^2=a$（$x≥0$），那么这个非负数x就叫做a的算术平方根，特别规定0的算术平方根是0。解题思路：对每个待求的数，找到满足平方等于它的非负数，即为它的算术平方根；若待求数本身是运算式（如第(4)问），先化简运算式得到具体数值，再求其算术平方根，注意算术平方根的结果一定是非负的。
【解析】
根据算术平方根的定义求解：
(1) 因为$0^2=0$，所以0的算术平方根是0；
(2) 因为$1^2=1$，且1是非负数，所以1的算术平方根是1；
(3) 因为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，且$\frac{1}{3}$是非负数，所以$\frac{1}{9}$的算术平方根是$\frac{1}{3}$；
(4) 先计算$(-0.3)^2=0.09$，又因为$0.3^2=0.09$，且0.3是非负数，所以$(-0.3)^2$的算术平方根是0.3。
【答案】
(1) 0的算术平方根是0 (2) 1的算术平方根是1 (3) $\frac{1}{9}$的算术平方根是$\frac{1}{3}$ (4) $(-0.3)^2$的算术平方根是0.3
【知识点】
1. 算术平方根的定义 2. 有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对算术平方根非负性的理解，解题时需注意：若遇到底数为负数的平方运算，要先计算出平方的结果再求算术平方根，避免被负号误导得出错误的负结果。
【难度系数】
0.9
11. 求下列各式的值.
(1) $\sqrt{\dfrac{36}{289}}$；
(2) $\sqrt{(-13)^2}$；
(3) $-\sqrt{81}$；
(4) $\pm\sqrt{61^2 - 60^2}$.
答案：11. (1) $\frac{6}{17}$ (2) 13 (3) $-9$ (4) $\pm11$
解析：
【分析】
本题主要考查平方根与算术平方根的相关运算，解题思路如下：首先明确算术平方根是一个非负数，是平方根中正的那个，平方根有正负两个（0除外）；其次对每个小题的被开方数先化简，再根据定义求对应的根：
(1) 求的是$\dfrac{36}{289}$的算术平方根，只需找到平方等于$\dfrac{36}{289}$的正数即可；
(2) 先计算被开方数$(-13)^2$的结果，再求它的算术平方根，也可直接利用$\sqrt{a^2}=|a|$化简；
(3) 求的是81的算术平方根的相反数，先求81的算术平方根再添负号；
(4) 先利用平方差公式计算被开方数$61^2-60^2$的结果，再求它的平方根。
【解析】
(1) 因为$(\dfrac{6}{17})^2=\dfrac{36}{289}$，且算术平方根为非负数，所以$\sqrt{\dfrac{36}{289}}=\dfrac{6}{17}$；
(2) 根据$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-13)^2}=|-13|=13$；
(3) 因为$9^2=81$，所以81的算术平方根为9，因此$-\sqrt{81}=-9$；
(4) 先计算被开方数：$61^2-60^2=(61-60)×(61+60)=1×121=121$，因为$11^2=121$，所以121的平方根为$\pm11$，即$\pm\sqrt{61^2 - 60^2}=\pm11$。
【答案】
(1) $\dfrac{6}{17}$；(2) $13$；(3) $-9$；(4) $\pm11$
【知识点】
1. 算术平方根 2. 平方根 3. 平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，核心是区分平方根和算术平方根的差异：算术平方根只有非负的一个结果，平方根有正负两个结果，计算被开方数时巧用平方差公式可以简化计算，避免直接计算大数平方出错。
【难度系数】
0.8
12. 某小区准备修建一个面积为$75\ \mathrm{m}^2$的花坛，甲、乙两个工程队给出如下两个施工方案.
甲的方案是把花坛修建为长方形，且长与宽的比为$3:1$. 乙的方案是把花坛修建为正方形. 求甲方案中长方形花坛的宽和乙方案中正方形花坛的边长.
答案：12. 设长方形花坛的宽为$x$ m,则长为$3x$ m,由题意得 $x · 3x=3x^2=75$,因此 $x=\sqrt{\frac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$,即长方形花坛的宽为5 m;设正方形花坛的边长为$x$ m,则$x^2=75$,$x=\sqrt{75}$,即正方形花坛的边长为$\sqrt{75}$ m
解析：
【分析】
本题是结合几何面积公式与平方根知识的实际应用题，解题思路如下：首先处理甲方案的长方形花坛：已知长宽比为3:1，可设宽为未知数，用未知数表示出长，再根据长方形面积公式（面积=长×宽）结合已知面积75m²列方程，由于长度为正数，求解时取算术平方根即可得到宽的长度；再处理乙方案的正方形花坛：设边长为未知数，根据正方形面积公式（面积=边长²）列方程，同样取算术平方根即可得到正方形边长。
【解析】
解：①求甲方案中长方形花坛的宽：
设长方形花坛的宽为$ x \, \mathrm{m} $，由长与宽的比为$ 3:1 $，可得长为$ 3x \, \mathrm{m} $。
根据长方形面积公式列方程：
$ x · 3x = 75 $
整理得$ 3x^2 = 75 $，即$ x^2 = 25 $
因为长度为正数，所以$ x = \sqrt{25} = 5 $，即甲方案中长方形花坛的宽为5 m。
②求乙方案中正方形花坛的边长：
设正方形花坛的边长为$ x \, \mathrm{m} $，根据正方形面积公式列方程：
$ x^2 = 75 $
因为边长为正数，所以$ x = \sqrt{75} $，即乙方案中正方形花坛的边长为$ \sqrt{75} \, \mathrm{m} $。
【答案】
甲方案中长方形花坛的宽为5 m，乙方案中正方形花坛的边长为$ \sqrt{75} \, \mathrm{m} $
【知识点】
平方根的应用；长方形面积计算；正方形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，结合实际施工场景考察几何面积公式和算术平方根的运用，解题时注意长度为非负数，开平方时仅取算术平方根即可。
【难度系数】
0.8
13. 解答下列各题：
（1）已知$\sqrt{1-a^2}=1-a^2$，求$a$的值；
（2）若$\sqrt{25b-21}$与$\sqrt{1-\frac{1}{16}c}$互为相反数，求$b+\sqrt{c}$的算术平方根。
答案：13. (1) 因为0和1的算术平方根等于其本身,所以$1-a^2=0$或1,则$a=0$或$\pm1$ (2) 因为一个数的算术平方根大于等于0,根据$\sqrt{25b-21}$与$\sqrt{1-\frac{1}{16}c}$互为相反数,可知它们都为0,由此得到$b=\frac{21}{25}$,$c=16$. 所以$b+\sqrt{c}=\frac{21}{25}+\sqrt{16}=\frac{121}{25}$. 所以$b+\sqrt{c}$的算术平方根是$\sqrt{\frac{121}{25}}=\frac{11}{5}$
解析：
【分析】
（1）解题先回忆算术平方根等于本身的数只有0和1，因此可得到关于a的方程$1-a^2=0$或$1-a^2=1$，分别解方程即可求出a的所有取值；
（2）首先明确算术平方根具有非负性，两个非负数互为相反数，说明两者的和为0，根据非负数的性质“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”，可分别求出b、c的值，再代入计算$b+\sqrt{c}$的值，最后求其算术平方根即可。
【解析】
（1）
∵算术平方根等于其本身的数为0和1，且$\sqrt{1-a^2}=1-a^2$
∴$1-a^2=0$ 或 $1-a^2=1$
当$1-a^2=0$时，$a^2=1$，解得$a=\pm1$；
当$1-a^2=1$时，$a^2=0$，解得$a=0$；
综上，a的值为0或$\pm1$。
（2）
∵互为相反数的两个数和为0，且算术平方根具有非负性（即$\sqrt{A}≥0$，$A≥0$）
∴$\sqrt{25b-21}+\sqrt{1-\frac{1}{16}c}=0$
根据非负数的性质，可得：
$\begin{cases}25b-21=0 \\1-\frac{1}{16}c=0 \end{cases}$
解第一个方程：$25b=21$，得$b=\frac{21}{25}$；
解第二个方程：$\frac{1}{16}c=1$，得$c=16$；
代入计算$b+\sqrt{c}=\frac{21}{25}+\sqrt{16}=\frac{21}{25}+4=\frac{121}{25}$
∵算术平方根为非负数，因此求$\frac{121}{25}$的算术平方根可得：$\sqrt{\frac{121}{25}}=\frac{11}{5}$
【答案】
(1) $a=0$或$\pm1$；(2) $\frac{11}{5}$
【知识点】
1. 算术平方根的性质 2. 非负数的性质 3. 相反数的性质
【点评】
本题是平方根章节的基础常考题，重点考查对算术平方根相关性质的理解与运用，解题时注意第一小问不要漏解，第二小问要准确把握非负数的性质，计算时注意区分平方根和算术平方根的概念。
【难度系数】
0.7
