【分析】
遇到直角三角形求边长的问题，首先联想到勾股定理，使用勾股定理前需先确定斜边：直角三角形中斜边为最长边，本题给出三边从小到大依次为x，16，20，因此最长边20是斜边，x和16为两条直角边，随后代入勾股定理列方程求解，注意边长为正数，最终取正根即可。
【解析】
解：
∵ 直角三角形中斜边是最长边，且三边从小到大依次为x，16，20
∴ 该直角三角形的斜边长为20，x、16为两条直角边
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$x^2 + 16^2 = 20^2$
计算得：$x^2 + 256 = 400$
移项得：$x^2 = 400 - 256 = 144$
∵ 边长为正数
∴ $x = \sqrt{144} = 12$
【答案】
12
【知识点】
勾股定理；直角三角形边的特征
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的核心是先根据边长的大小关系确定斜边，避免错用勾股定理，计算时注意结合边长的实际意义舍去负根，主要考查对勾股定理的基础掌握能力。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题是直角三角形的基础计算问题，解题思路可分三步：①已知直角三角形的斜边和一条直角边，首先用勾股定理求出另一条直角边BC的长度；②根据直角三角形面积等于两直角边乘积的一半，计算出三角形的面积；③利用“等面积法”，即三角形的面积也可以表示为斜边与斜边上高乘积的一半，反过来推导求出AB边上的高的长度。
【解析】
解：
∵ 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ $△ ABC$是直角三角形
1. 计算$BC$的长度：
根据勾股定理：$AC^2 + BC^2 = AB^2$
代入$AB=10$，$AC=6$，得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$
2. 计算三角形面积：
直角三角形面积$=\frac{1}{2}×$直角边×直角边
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×6×8=24$
3. 计算AB边上的高：
设AB边上的高为$h$，三角形面积也可表示为$\frac{1}{2}×AB×h$
即$\frac{1}{2}×10×h=24$
解得$h=\frac{24×2}{10}=4.8$
【答案】
8,24,4.8
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，等面积法应用
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查直角三角形的性质应用，只要熟练掌握勾股定理和面积的两种计算方式就能顺利解题，计算时注意开方和乘除运算的准确性即可。
【难度系数】
0.9

【分析】
首先明确长方形的性质：长方形的四个内角均为直角，因此长方形的长、宽与对角线可以构成直角三角形，其中对角线为直角三角形的斜边，已知两条直角边（长和宽）的长度，即可用勾股定理计算斜边（对角线）的长度。
【解析】
∵长方形的四个角都是直角，
∴长为5、宽为12的边与对角线构成直角三角形，且对角线为该直角三角形的斜边。
根据勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
对角线长度 = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13
【答案】
13
【知识点】
长方形的性质；勾股定理
【点评】
本题是勾股定理在常见几何图形中的基础应用，解题关键是结合长方形的直角特征判断出直角三角形，再代入勾股定理计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时可分三步思考：第一步先找每组勾股数第一个数的规律，观察已知三组的第一个数3、5、7，均为连续的奇数，每一组比前一组大2，可推出第④组第一个数是9；第二步找后两个数的规律，观察发现每组后两个数是相邻的正整数，且满足第一个数的平方等于后两个数的和；第三步结合勾股定理，设第二个数为x，第三个数就是x+1，列方程求解即可得到后两个数。
【解析】
1. 确定第④组的第一个数：观察前3组勾股数的第一个数3、5、7，是依次增加2的连续奇数，因此第④组第一个数为$7+2=9$。
2. 分析后两个数的关系：观察每组后两个数，4和5、12和13、24和25均为相邻正整数，结合勾股定理，设第④组第二个数为$x$，则第三个数为$x+1$，可列方程：
$9^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开得：$81 + x^2 = x^2 + 2x + 1$
移项化简得：$2x = 80$，解得$x=40$
3. 第三个数为$40+1=41$。
【答案】
9,40,41
【知识点】
勾股数；规律探究；勾股定理
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要先通过观察归纳出已知勾股数的共同特征，再结合勾股定理建立方程计算，掌握勾股数的定义和基本性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先根据“上北下南，左西右东”的方位规则理解方向角的含义：船A在灯塔P的南偏东60°方向，说明从P的正南方向向东偏转60°即为PA的方向，由此可推出∠APB=90°-60°=30°；再由B在P的正东方向、船沿正北方向从A航行到B，可知AB为南北方向、PB为东西方向，因此△PAB是直角三角形，且∠ABP=90°。接下来利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半求出AB的长度，最后用勾股定理即可算出PB的长度。
【解析】
解：由题意可知：
∠APB = 90° - 60° = 30°，PA = 12 n mile，∠ABP = 90°，
在Rt△ABP中，∠APB=30°，
∴ AB = $\frac{1}{2}$PA = $\frac{1}{2}×12 = 6$（n mile），
根据勾股定理：$PB^2 + AB^2 = PA^2$，
∴ $PB = \sqrt{PA^2 - AB^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108}$（n mile）。
【答案】
$\sqrt{108}$
【知识点】
方位角的应用；直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题将方位角与直角三角形的知识结合考查，解题的关键是从方位信息中提炼出直角三角形的边长和角度条件，再结合相关性质计算，是几何知识在实际场景中的基础应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先明确所求的两个正方形面积的表达式：正方形AEDC的边长为AC，面积是$AC^2$；正方形BCGF的边长为BC，面积是$BC^2$，因此两者的面积和为$AC^2+BC^2$。再结合已知条件，$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$，斜边AB长度已知，此时可运用勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，将$AC^2+BC^2$转化为$AB^2$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 四边形AEDC是正方形，
∴ 正方形AEDC的面积$S_1=AC^2$；
∵ 四边形BCGF是正方形，
∴ 正方形BCGF的面积$S_2=BC^2$；
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$，
已知$AB=17$，代入得：
$AC^2+BC^2=17^2=289$，
即两个正方形的面积之和为289。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是将正方形面积转化为直角三角形对应直角边的平方，再结合勾股定理直接计算，侧重考查对基础公式、定理的理解和转化应用能力。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是哪个选项，首先需要确定外露长度的取值范围。首先找到铅笔在笔筒内部的长度的两个极值：当铅笔竖直放在笔筒中时，内部长度最短，等于笔筒的高度，此时外露长度最长；当铅笔斜靠在笔筒内壁，一端接触底面边缘，另一端接触上口对面的边缘时，内部长度最长，可由底面直径和笔筒高度构成的直角三角形用勾股定理求出，此时外露长度最短。得到外露长度的范围后，对比选项即可得出答案。
【解析】
1. 计算铅笔在笔筒内部的最长长度：
笔筒内部底面直径为9cm，内壁高12cm，斜放时内部铅笔与底面直径、内壁高构成直角三角形，根据勾股定理，内部最长长度为：
$\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\ \mathrm{cm}$
此时外露长度最短，为$18 - 15 = 3\ \mathrm{cm}$
2. 计算铅笔在笔筒内部的最短长度：
当铅笔竖直放置时，内部长度等于笔筒高度12cm，此时外露长度最长，为$18 - 12 = 6\ \mathrm{cm}$
3. 因此铅笔外露长度的取值范围是$3\ \mathrm{cm} ≤ 外露长度 ≤ 6\ \mathrm{cm}$，选项中只有2cm不在这个范围内。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，实际问题应用
【点评】
本题结合生活中的常见场景考查勾股定理的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，准确找到铅笔在笔筒内长度的两个极值，进而确定外露长度的范围。
【难度系数】
0.8

【分析】
这道题考查勾股定理的应用，解题时首先要注意题目没有明确给出已知的两条边是直角边还是斜边，因此需要分类讨论：①两条已知边均为直角边；②较长的已知边为斜边（斜边是直角三角形中最长的边，因此长度为3的边不可能是斜边，无需讨论这种情况），再分别根据勾股定理计算第三边的长度即可。
【解析】
已知直角三角形两边长为3和5，分两种情况计算：
1. 当3和5均为直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$a、b$为直角边，$c$为斜边），可得第三边长为：
$\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$
2. 当5为斜边，3为直角边时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理可得第三边长为：
$\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
综上，第三边长为4或$\sqrt{34}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理应用的易错题，易错点是默认已知的两条边均为直角边，忽略5作为斜边的情况导致漏解。解题时要先明确直角三角形的边长是否指定了直角边或斜边，未指定时要结合斜边是最长边的性质分类讨论，排除不符合逻辑的情况。
【难度系数】
0.7

【分析】
遇到折叠类问题首先考虑折叠的性质：折叠前后对应边相等，本题折叠后点B与点D重合，因此BE=DE。长方形中AD=AE+DE=9 cm，可得AE+BE=9 cm，又△ABE是直角三角形且已知AB的长度，因此可以设AE的长度为未知数，利用勾股定理列方程求出AE的长度，最后代入直角三角形面积公式即可求出△ABE的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=90°，AD=9 cm。
∵长方形折叠后点B与点D重合，
∴BE=DE。
设AE=x cm，则BE=DE=(9 - x)cm，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB^2 + AE^2 = BE^2$，
代入数据得：$3^2 + x^2 = (9 - x)^2$，
展开得：$9 + x^2 = 81 - 18x + x^2$，
化简得：$18x = 72$，
解得：$x=4$，即$AE=4\ \mathrm{cm}$。
∴$S_{△ ABE} = \frac{1}{2} × AB × AE = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6(\mathrm{cm}^2)$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是折叠变换与勾股定理结合的常规题型，解题核心是利用折叠得到相等线段，通过设未知数建立方程求解，体现了几何计算中的方程思想，掌握该思路能解决大量同类折叠计算问题。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先结合赵爽弦图的特征分析各部分边长的关系：1. 大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据大正方形面积可直接得到勾股定理中$a^2+b^2$的值；2. 小正方形的边长为直角三角形两条直角边的差，由小正方形面积可得$(b-a)^2$的值；3. 利用完全平方公式的变形，将$(a+b)^2$展开，代入已知的$a^2+b^2$和算出的$2ab$的值即可求出结果。
【解析】
解：
∵ 大正方形的面积为36，大正方形的边长是$\mathrm{Rt}△ABC$的斜边，
∴ 根据勾股定理得：$a^2 + b^2 = 36$。
∵ 小正方形的面积为9，小正方形的边长为$b-a$，
∴ $(b - a)^2 = 9$，
展开完全平方得：$a^2 - 2ab + b^2 = 9$，
将$a^2 + b^2 = 36$代入上式，得：
$36 - 2ab = 9$，
解得：$2ab = 27$。
对$(a + b)^2$展开得：
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
将$a^2 + b^2 = 36$，$2ab = 27$代入得：
$(a + b)^2 = 36 + 27 = 63$。
【答案】
63
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题是数形结合的典型习题，需要结合赵爽弦图的结构找到边长对应的数量关系，再结合代数公式变形求解，既考查了几何图形的认知，也考查了代数式变形的能力。
【难度系数】
0.7