【分析】
首先观察阴影部分为不规则的月牙图形，无法直接计算面积，因此考虑用割补法转化为规则图形的面积和差求解。我们可以把整个图形的面积看作两个以直角边为直径的小半圆面积与直角三角形ABC的面积之和，再减去以斜边AB为直径的大半圆面积，剩下的就是阴影部分的面积。接下来结合勾股定理推导三个半圆的面积关系，即可简化计算。
【解析】
设$AC=a=8$，$BC=b=4$，斜边$AB=c$。
1. 计算各半圆的面积：
以$AC$为直径的半圆面积：$S_1=\frac{1}{2}×π×(\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{8}$
以$BC$为直径的半圆面积：$S_2=\frac{1}{2}×π×(\frac{b}{2})^2=\frac{π b^2}{8}$
以$AB$为直径的半圆面积：$S_3=\frac{1}{2}×π×(\frac{c}{2})^2=\frac{π c^2}{8}$
2. 阴影部分面积关系：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_1+S_2+S_{△ ABC}-S_3$
3. 结合勾股定理化简：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$，因此：
$S_1+S_2=\frac{π(a^2+b^2)}{8}=\frac{π c^2}{8}=S_3$
代入面积公式得$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABC}$
4. 计算三角形面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×8×4=16$
【答案】
16
【知识点】
勾股定理，割补法求面积，半圆面积计算
【点评】
本题是典型的不规则图形面积巧算题，核心是通过割补法将未知的阴影面积转化为规则图形的面积和差，再结合勾股定理抵消掉相同的半圆面积，无需复杂计算就能得到结果，解题的关键是理清各图形之间的面积关系。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）已知Rt△ABC和Rt△ABD共直角边AB，先利用勾股定理分别求出BC、BD的长度，再根据线段和差关系CD=BD-BC即可求出CD的长；
（2）遇到角平分线可结合角平分线的性质构造辅助线，过点C作CE⊥AD得到CE=BC，先用勾股定理求出DE的长度，再通过HL证明Rt△ABC≌Rt△AEC得到AB=AE，设AB的长为x，用含x的式子表示AD的长度，最后在Rt△ABD中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AC=13$，$AB=12$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$∠ ABD=90°$，$AD=15$，$AB=12$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AD^2-AB^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$，
$\therefore CD=BD-BC=9-5=4$。
（2）如图，过点 $C$ 作 $CE⊥ AD$，垂足为 $E$，
$\because ∠ ABC=90°$，$AC$ 平分$∠ BAD$，
根据角平分线的性质可得$CE=BC=9$。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$ 中，$CD=15,CE=9$，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ AEC$ 中，
$\begin{cases}AC=AC,\\ BC=EC,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ AEC(\mathrm{HL})$，
$\therefore AB=AE$，则$AD=AE+DE=AB+12$。
又$BD=BC+CD=9+15=24$，在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中，由勾股定理得$AB^2+BD^2=AD^2$，
设$AB=x$，代入得：$x^2+24^2=(x+12)^2$，
展开得$x^2+576=x^2+24x+144$，
化简得$24x=432$，解得$x=18$，即$AB=18$。
【答案】
(1) $CD=4$；(2) $AB=18$

【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，既考察了勾股定理的直接应用，也结合了角平分线性质、全等三角形的判定，解题时要注意合理构造辅助线，利用方程思想转化边的关系求解，是巩固几何基础的典型习题。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题是求不规则四边形的面积，常用分割法将其转化为两个三角形的面积和求解。观察图形已知∠B=90°，因此优先连接AC，先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度，再结合△ACD的三边长，用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，若为直角三角形，分别计算两个直角三角形的面积相加即可得到四边形的面积。
【解析】
解：连接AC，
∵ ∠B=90°，AB=24 m，BC=7 m，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25(\mathrm{m})$，
又
∵ CD=15 m，AD=20 m，
∴ $AD^2+CD^2=20^2+15^2=400+225=625$，$AC^2=25^2=625$，
即 $AD^2+CD^2=AC^2$，
∴ △ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，
∴ 四边形ABCD的面积为两个直角三角形的面积和：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AB× BC + \frac{1}{2}× AD× CD$
$=\frac{1}{2}×24×7 + \frac{1}{2}×20×15=84+150=234(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$234\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题核心是通过作辅助线将不规则四边形转化为熟悉的直角三角形求解，需要熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用条件，是几何中面积计算的常见题型。
【难度系数】
0.7