12.《九章算术》是我国古代数学名著. 书中卷九“勾股”中记载：“今有垣高一丈，倚木于垣，上于垣齐. 引木却行一尺，其木至地，问木长几何?” 其意思是：如图，墙AB高1丈(1丈=10尺)，一根木棒AC靠于墙上，木棒上端与墙头齐平. 当木棒下端沿地面从C处向右滑1尺到D处时，木棒上端恰好沿墙壁从A处下滑到墙脚B处(∠ABC=90°，点B，C，D在同一条水平线上)，求木棒的长为多少尺.
答案：设木棒的长为 $x$ 尺,则 $BC=(x-1)$尺. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,由勾股定理,得 $AB^2+BC^2=AC^2$,$\therefore 10^2+(x-1)^2=x^2$,解得 $x=50.5$,即木棒的长为 50.5 尺
解析：
【分析】
解题时首先要抓住不变量：木棒的长度始终不变。我们可以设木棒长度为x尺，木棒下滑后下端到D点，此时木棒长度为BD=x，已知CD=1尺，因此BC的长度为(x-1)尺。观察图形可知△ABC是直角三角形，∠B为直角，已知AB=10尺，直角三角形三边满足勾股定理，将三边长度代入勾股定理即可列出方程，求解方程就能得到木棒的长度。
【解析】
设木棒的长为 $ x $ 尺，由木棒长度不变可知 $ BD = AC = x $ 尺，已知 $ CD=1 $ 尺，因此 $ BC = BD - CD = (x-1) $ 尺。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ ∠ ABC=90° $，根据勾股定理可得：
$ AB^2 + BC^2 = AC^2 $
将 $ AB=10 $、$ BC=x-1 $、$ AC=x $ 代入得：
$ 10^2 + (x-1)^2 = x^2 $
展开计算：
$ 100 + x^2 - 2x + 1 = x^2 $
移项化简得：
$ 2x = 101 $
解得 $ x = 50.5 $。
【答案】
木棒的长为50.5尺
【知识点】
勾股定理，列方程解应用题
【点评】
本题结合古代数学典籍的记载出题，将实际问题转化为直角三角形的几何问题，解题的核心是抓住木棒长度不变的隐含条件，利用勾股定理建立方程求解，能有效考查学生的数学建模能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
13. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度 CE 是 2.2 m. 一架梯子 AB 斜靠在左墙时，梯子顶端 A 距离地面 2.4 m. 如果保持梯子底端 B 位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端 D 距离地面 2 m. 求此时梯子底端 B 到右墙角点 E 的距离是多少米.
答案：设此时梯子底端 $B$ 到右墙角点 $E$ 的距离是 $x\ \mathrm{m}$,则 $BC$ 为$(2.2-x)\mathrm{m}$. 由题意可知,$AC=2.4\ \mathrm{m}$,$DE=2\ \mathrm{m}$,$AB=DB$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ DBE$ 中,由勾股定理,得 $AB^2=BC^2+AC^2$,$DB^2=BE^2+DE^2$,$\therefore BC^2+AC^2=BE^2+DE^2$,即$(2.2-x)^2+2.4^2=x^2+4$,解得 $x=1.5$,即此时梯子底端 $B$ 到右墙角点 $E$ 的距离是 $1.5\ \mathrm{m}$
解析：
【分析】
解题时首先抓住隐含条件：梯子的长度始终不变，即$AB=DB$。观察图形可知$△ ABC$和$△ DBE$都是直角三角形，两个三角形的斜边均为梯子长度，因此可结合勾股定理，设所求的$BE$长度为$x\ \mathrm{m}$，用含$x$的式子表示出$BC$的长度，再根据两个直角三角形的斜边平方相等列方程，求解即可得到结果。
【解析】
设梯子底端$B$到右墙角点$E$的距离是$x\ \mathrm{m}$，则$BC=(2.2-x)\mathrm{m}$。
由题意可知：$AC=2.4\ \mathrm{m}$，$DE=2\ \mathrm{m}$，梯子长度不变，因此$AB=DB$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理得：$AB^2=BC^2+AC^2$；
在$\mathrm{Rt}△ DBE$中，根据勾股定理得：$DB^2=BE^2+DE^2$。
因为$AB=DB$，所以$AB^2=DB^2$，即：
$(2.2-x)^2+2.4^2=x^2+2^2$
展开计算得：$4.84 - 4.4x + x^2 + 5.76 = x^2 + 4$
化简得：$10.6 - 4.4x = 4$
移项求解得：$x=1.5$
【答案】
$\boxed{1.5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 一元一次方程的应用
【点评】
这道题是勾股定理结合方程思想解决实际问题的典型题，解题的核心是抓住梯子长度不变这一隐含等量关系，将实际问题转化为直角三角形的计算问题，侧重考查对基础知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
