8. 某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费. 月用电量不超过200 kW·h时，按0.55元/kW·h计费；月用电量超过200 kW·h时，超过部分按0.70元/kW·h计费. 设家庭月用电量为x kW·h，应交电费y元.
（1）分别求出当$0≤ x≤ 200$和$x＞200$时，y关于x的函数表达式；
（2）小明家5月份交电费117元，小明家这个月用电多少千瓦时？
答案：8. （1）当$0≤x≤200$时，$y$关于$x$的函数表达式是$y=0.55x$;当$x＞200$时,$y$关于$x$的函数表达式是$y=0.55×200+0.7(x-200)$,即$y=0.7x-30$
（2）因为$0.55×200=110$,小明家5月份的电费超过110元,所以用电超过$200\ \mathrm{kW· h}$. 将$y=117$代入$y=0.7x-30$中,得$x=210$
解析：
【分析】
（1）本题需要根据不同的用电量计费规则列分段函数：当用电量在$0≤x≤200$区间时，电费直接按“单价×用电量”计算；当用电量$x＞200$时，电费分为两部分：200kW·h以内的费用和超出200kW·h部分的费用，两部分相加后化简即可得到对应函数表达式。
（2）求解小明家用电量时，首先计算用电量为200kW·h时的电费，和117元比较判断用电量所属区间，再代入对应区间的函数表达式，解一元一次方程即可得到结果。
【解析】
（1）分两种情况讨论：
①当$0≤ x≤ 200$时，电费按0.55元/kW·h计费，因此$y = 0.55x$；
②当$x＞200$时，200kW·h以内的费用为$0.55×200$元，超出200kW·h的部分为$(x-200)$kW·h，费用为$0.7(x-200)$元，因此总电费：
$y=0.55×200 + 0.7(x-200)=110 + 0.7x - 140=0.7x - 30$。
（2）首先计算用电量为200kW·h时的电费：$0.55×200=110$元，
因为$117＞110$，所以小明家5月份用电量超过200kW·h，
将$y=117$代入$y=0.7x - 30$得：
$117=0.7x - 30$，
移项得$0.7x=117+30=147$，
解得$x=210$。
【答案】
（1）当$0≤ x≤ 200$时，$y=0.55x$；当$x＞200$时，$y=0.7x-30$；
（2）210 kW·h
【知识点】
分段函数，一次函数实际应用，一元一次方程求解
【点评】
本题是分段计费类的常规题型，解题核心是先明确不同区间的计费规则，求解实际用量时要先判断所属的计费区间，再代入对应关系式计算，避免直接套公式导致错误。
【难度系数】
0.8
9. 已知$y=y_1+y_2$，$y_1$与$x-1$成正比例，$y_2$与$x$成正比例。当$x=2$时，$y=4$；当$x=-1$时，$y=-5$。
(1) 求$y$关于$x$的函数表达式；
(2) 当$x=-5$时，求$y$的值；
(3) 当$y＞0$时，求$x$的取值范围。
答案：9. （1）设$y_1=k_1(x-1)$,设$y_2=k_2x$,则$y=k_1(x-1)+k_2x$,根据题意,得
$\begin{cases}k_1+2k_2=4,\\2k_1+k_2=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=2,\\k_2=1.\end{cases}$
∴ $y=2×(x-1)+x$,即$y=3x-2$
（2）把$x=-5$代入$y=3x-2$中,得$y=-15-2=-17$
（3）$\because y＞0,\therefore 3x-2＞0$,解得$x＞\dfrac{2}{3}$
解析：
【分析】
解题思路：(1) 首先根据正比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，进而得到$y$关于$x$的含未知系数的表达式；再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入，得到关于两个系数的二元一次方程组，解方程组求出系数后即可得到$y$与$x$的函数表达式。(2) 求$x=-5$时的$y$值，直接将$x=-5$代入第(1)问求出的函数解析式计算即可。(3) 求$y＞0$时$x$的取值范围，将得到的函数表达式代入不等式，解一元一次不等式即可得到结果。
【解析】
(1) 解：$\because y_1$与$x-1$成正比例，$y_2$与$x$成正比例
$\therefore$ 设$y_1=k_1(x-1)$（$k_1≠0$），$y_2=k_2x$（$k_2≠0$）
又$\because y=y_1+y_2$
$\therefore y=k_1(x-1)+k_2x$
将$x=2,y=4$和$x=-1,y=-5$分别代入上式，得：
$\begin{cases}k_1(2-1)+2k_2=4 \\ k_1(-1-1)+(-1)k_2=-5 \end{cases}$
整理得$\begin{cases}k_1+2k_2=4 \\ 2k_1+k_2=5 \end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}k_1=2 \\ k_2=1 \end{cases}$
将$k_1=2,k_2=1$代入$y$的表达式，得：
$y=2(x-1)+x=3x-2$
即$y$关于$x$的函数表达式为$y=3x-2$。
(2) 把$x=-5$代入$y=3x-2$，得：
$y=3×(-5)-2=-15-2=-17$
(3) 当$y＞0$时，有$3x-2＞0$
解不等式得：$3x＞2$，即$x＞\frac{2}{3}$
【答案】
(1) $y=3x-2$；(2) $-17$；(3) $x＞\dfrac{2}{3}$
【知识点】
正比例函数定义，待定系数法，解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数相关的基础题型，核心考察对正比例函数概念的理解、待定系数法的应用，以及简单的代入求值和不等式计算，掌握基础运算和相关方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
10. 已知一次函数 $ y=kx+b $，当$ -1 ≤ x ≤5 $时，$ -1 ≤ y ≤11 $，求这个一次函数表达式.
答案：10. 当$x=-1$时,$y=-1$;当$x=5$时,$y=11$,$\therefore \begin{cases}-k+b=-1,\\5k+b=11,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=1,\end{cases}$一次函数表达式为$y=2x+1$. 当$x=-1$时,$y=11$;当$x=5$时,$y=-1$,$\therefore \begin{cases}-k+b=11,\\5k+b=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=9,\end{cases}$一次函数表达式为$y=-2x+9$. 综上,一次函数表达式为$y=-2x+9$或$y=2x+1$
解析：
【分析】
一次函数的增减性由系数$k$的符号决定，题目未明确$k$的正负，因此需要分类讨论：①当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，此时$x$取最小值时$y$对应最小值，$x$取最大值时$y$对应最大值；②当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，此时$x$取最小值时$y$对应最大值，$x$取最大值时$y$对应最小值。再分别将两组$x$、$y$的对应值代入解析式，通过解二元一次方程组求出$k$、$b$的值，即可得到函数表达式。
【解析】
解：分两种情况讨论：
（1）当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，
由$-1 ≤ x ≤5$，$-1 ≤ y ≤11$可得：$x=-1$时$y=-1$，$x=5$时$y=11$，
代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}-k+b=-1\\5k+b=11\end{cases}$
两式相减得$6k=12$，解得$k=2$，
将$k=2$代入$-k+b=-1$，得$b=1$，
此时一次函数表达式为$y=2x+1$；
（2）当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，
由$-1 ≤ x ≤5$，$-1 ≤ y ≤11$可得：$x=-1$时$y=11$，$x=5$时$y=-1$，
代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}-k+b=11\\5k+b=-1\end{cases}$
两式相减得$6k=-12$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$-k+b=11$，得$b=9$，
此时一次函数表达式为$y=-2x+9$。
【答案】
$y=2x+1$或$y=-2x+9$
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的解法
【点评】
本题易错点是忽略$k$的符号需要分类讨论，导致漏解。解题时要熟练掌握一次函数增减性与系数$k$的对应关系，灵活运用待定系数法求解函数解析式。
【难度系数】
0.6
