1. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是 （
C
）
A.$ x(x+y)=x^2+xy $
B.$ x^2+x=x^2(1+\dfrac{1}{x}) $
C.$ x^2+4x+4=(x+2)^2 $
D.$ x^2-5x+4=x(x-5)+4 $
答案：C
解析：
【分析】
要判断等式变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，判断时需紧扣三个要点：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积形式，不能含有分式、也不能保留加减运算；③变形前后等式恒成立。我们按照这个标准逐一分析每个选项即可。
【解析】
我们根据因式分解的定义逐一判断选项：
A选项：左边是整式的乘积形式，右边是多项式，该变形属于整式乘法，是因式分解的逆运算，不属于因式分解，故A错误；
B选项：右侧的$\dfrac{1}{x}$是分式，不是整式，不符合因式分解结果必须是整式乘积的要求，故B错误；
C选项：左边是多项式$x^2+4x+4$，右边是$(x+2)^2$，即两个整式$(x+2)$的乘积，完全符合因式分解的定义，故C正确；
D选项：右侧$x(x-5)+4$仍含有加法运算，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义，整式的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确掌握因式分解的定义，尤其要注意区分因式分解和整式乘法，以及结果必须为整式乘积这两个易错点，熟练掌握定义即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 写出下列多项式各项的公因式：
(1) $ ma + mb $；
(2) $ 4kx - 8ky $；
(3) $ 5y^3 + 20y^2 $；
(4) $ a^2b - 2ab^2 + ab $。
答案：(1) $m$；(2) $4k$；(3) $5y^2$；(4) $ab$。
解析：
【分析】
找多项式各项的公因式可按固定两步推导：第一步先求各项系数的最大公约数（系数为负时取绝对值计算），第二步找各项都包含的相同字母，取相同字母的最低次幂，最后将系数的最大公约数和相同字母的最低次幂相乘，得到的结果就是该多项式各项的公因式，每一问都可按照这个思路逐步推导。
【解析】
(1) 多项式$ma+mb$的两项系数均为1，最大公约数是1；两项都含有相同字母$m$，$m$的最低次幂为1次，因此公因式为$m$。
(2) 多项式$4kx-8ky$的两项系数绝对值为4和8，最大公约数是4；两项都含有相同字母$k$，$k$的最低次幂为1次，因此公因式为$4k$。
(3) 多项式$5y^3+20y^2$的两项系数为5和20，最大公约数是5；两项都含有相同字母$y$，$y$的最低次幂为2次，因此公因式为$5y^2$。
(4) 多项式$a^2b-2ab^2+ab$的三项系数绝对值为1、2、1，最大公约数是1；三项都含有相同字母$a$和$b$，$a$的最低次幂为1次，$b$的最低次幂为1次，因此公因式为$ab$。
【答案】
(1) $m$；(2) $4k$；(3) $5y^2$；(4) $ab$
【知识点】
公因式的确定，最大公约数计算，最低次幂选取
【点评】
本题是因式分解模块的基础题型，核心考查公因式的确定方法，熟练掌握该知识点可为后续学习提公因式法分解因式打好基础。
【难度系数】
0.9
3. 用提公因式法分解因式：
(1) $ma + mb = \_\_\_\_\_\_$；
(2) $ma - mb - mc = \_\_\_\_\_\_$；
(3) $3x + 6 = \_\_\_\_\_\_$；
(4) $3a + 3b = \_\_\_\_\_\_$；
(5) $3a^2 - 9ab = \_\_\_\_\_\_$；
(6) $-5a^2 + 25a = \_\_\_\_\_\_$。
答案：(1) $m(a+b)$；(2) $m(a-b-c)$；(3) $3(x+2)$；(4) $3(a+b)$；(5) $3a(a-3b)$；(6) $-5a(a-5)$。
解析：
【分析】
用提公因式法分解因式的核心思路分为两步：第一步确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式；若多项式首项为负，通常提取带负号的公因式。第二步提取公因式：用原多项式的每一项除以公因式，将得到的商作为括号内的各项，公因式写在括号外。
【解析】
(1) 多项式$ma+mb$的公因式为$m$，提取公因式得：$ma+mb=m(a+b)$；
(2) 多项式$ma-mb-mc$的公因式为$m$，提取公因式得：$ma-mb-mc=m(a-b-c)$；
(3) 多项式$3x+6$的公因式为$3$，提取公因式得：$3x+6=3(x+2)$；
(4) 多项式$3a+3b$的公因式为$3$，提取公因式得：$3a+3b=3(a+b)$；
(5) 多项式$3a^2-9ab$的公因式为$3a$，提取公因式得：$3a^2-9ab=3a(a-3b)$；
(6) 多项式$-5a^2+25a$首项为负，公因式为$-5a$，提取公因式得：$-5a^2+25a=-5a(a-5)$。
【答案】
(1) $m(a+b)$；(2) $m(a-b-c)$；(3) $3(x+2)$；(4) $3(a+b)$；(5) $3a(a-3b)$；(6) $-5a(a-5)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，重点考查公因式的寻找方法，解题时需注意提取带负号的公因式时，括号内的每一项都要改变符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.85
4. 把下列各式分解因式：
(1) $7x^2 - 21x$；
(2) $a^2b - 5ab$；
(3) $8abc - 2bc^2$；
(4) $2x(x+y) - 6(x+y)$。
答案：(1) $7x(x-3)$；(2) $ab(a-5)$；(3) $2bc(4a-c)$；(4) $2(x+y)(x-3)$。
解析：
【分析】
这4道小题均采用提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母（或整体多项式）的最低次幂，二者的乘积就是公因式；第二步提取公因式，把公因式写到括号外，括号内写各项除以公因式后得到的整式，最后检查分解是否彻底即可。
【解析】
(1) 先找$7x^2$和$-21x$的公因式：系数7和21的最大公约数是7，相同字母为x，最低次为$x^1$，因此公因式为$7x$，
原式$=7x· x - 7x·3 = 7x(x-3)$；
(2) 找$a^2b$和$-5ab$的公因式：系数1和5的最大公约数是1，相同字母为a、b，最低次分别为$a^1$、$b^1$，因此公因式为$ab$，
原式$=ab· a - ab·5 = ab(a-5)$；
(3) 找$8abc$和$-2bc^2$的公因式：系数8和2的最大公约数是2，相同字母为b、c，最低次分别为$b^1$、$c^1$，因此公因式为$2bc$，
原式$=2bc·4a - 2bc· c = 2bc(4a - c)$；
(4) 找$2x(x+y)$和$-6(x+y)$的公因式：系数2和6的最大公约数是2，相同整体为$(x+y)$，最低次为$(x+y)^1$，因此公因式为$2(x+y)$，
原式$=2(x+y)· x - 2(x+y)·3 = 2(x+y)(x-3)$。
【答案】
(1) $7x(x-3)$；(2) $ab(a-5)$；(3) $2bc(4a-c)$；(4) $2(x+y)(x-3)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定；整体法提取公因式
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础训练题，重点考查公因式的识别与提取能力，需要注意公因式既可以是单项式，也可以是多项式这类整体形式，提取公因式后要检查是否分解彻底，避免漏项。
【难度系数】
0.9
问题 把下列各式分解因式:
(1) $4x^2 + 6xy + 2x$；
(2) $-3ma^3 + 6ma^2 - 9ma$；
(3) $4a^2(x+y) + 2b(y+x) -6c(x+y)$；
(4) $(a-b)(5mx + my -1) - (b-a)(3my - mx +1)$；
(5) $\frac{1}{3}a^2(x-2y)^3 - \frac{1}{6}a(2y -x)^2$。
名师指导
(1) 取系数的最大公约数2，取相同的字母$x$，字母的指数取较低的1；
(2) 取系数的最大公约数3，首项系数为负数时，公因式系数一般取负数，取相同的字母$m,a$，字母的指数取较低的1；
(3) 把$x+y$看作一个整体；
(4) 把$b-a$转化为$-(a-b)$，先提取出$a-b$，把括号里面合并同类项后还可以提取公因式，分解要彻底；
(5) 先把$(2y-x)^2$转化为$(x-2y)^2$，再提取公因式。
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
答案：解：
(1) 原式$=2x· 2x + 2x· 3y + 2x· 1$
$=2x(2x + 3y + 1)$
(2) 原式$=-3ma· a^2 + (-3ma)· (-2a) + (-3ma)· 3$
$=-3ma(a^2 - 2a + 3)$
(3) 原式$=2(x+y)· 2a^2 + 2(x+y)· b + 2(x+y)· (-3c)$
$=2(x+y)(2a^2 + b - 3c)$
(4) 原式$=(a-b)(5mx + my -1) + (a-b)(3my - mx +1)$
$=(a-b)[(5mx + my -1) + (3my - mx +1)]$
$=(a-b)(4mx + 4my)$
$=4m(x+y)(a-b)$
(5) 原式$=\frac{1}{3}a^2(x-2y)^3 - \frac{1}{6}a(x-2y)^2$
$=\frac{1}{6}a(x-2y)^2· 2a(x-2y) - \frac{1}{6}a(x-2y)^2· 1$
$=\frac{1}{6}a(x-2y)^2(2ax - 4ay - 1)$
解析：
【分析】
这组题均使用提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母或可看作整体的相同多项式，取其最低次幂，若首项系数为负数，公因式通常取负号；第二步将每一项拆为公因式乘另一个因式的形式；第三步提取公因式，合并剩余因式，注意分解要彻底，直到不能再分解为止。遇到互为相反数的因式（如$b-a$和$a-b$、$(2y-x)^2$和$(x-2y)^2$），先统一为相同因式再提取。
【解析】
(1) 确定公因式为$2x$，拆分各项：
原式$=2x· 2x + 2x· 3y + 2x· 1$
提取公因式得：$=2x(2x + 3y + 1)$
(2) 首项为负，确定公因式为$-3ma$，拆分各项：
原式$=-3ma· a^2 + (-3ma)· (-2a) + (-3ma)· 3$
提取公因式得：$=-3ma(a^2 - 2a + 3)$
(3) 将$x+y$看作整体，确定公因式为$2(x+y)$，拆分各项：
原式$=2(x+y)· 2a^2 + 2(x+y)· b + 2(x+y)· (-3c)$
提取公因式得：$=2(x+y)(2a^2 + b - 3c)$
(4) 先将$b-a$转化为$-(a-b)$，统一公因式为$a-b$：
原式$=(a-b)(5mx + my -1) + (a-b)(3my - mx +1)$
提取$a-b$后合并剩余项：$=(a-b)[(5mx + my -1) + (3my - mx +1)]$
$=(a-b)(4mx + 4my)$
剩余项还有公因式$4m$，继续分解得：$=4m(x+y)(a-b)$
(5) 先将$(2y-x)^2$转化为$(x-2y)^2$，确定公因式为$\frac{1}{6}a(x-2y)^2$：
原式$=\frac{1}{3}a^2(x-2y)^3 - \frac{1}{6}a(x-2y)^2$
拆分各项得：$=\frac{1}{6}a(x-2y)^2· 2a(x-2y) - \frac{1}{6}a(x-2y)^2· 1$
提取公因式整理得：$=\frac{1}{6}a(x-2y)^2(2ax - 4ay - 1)$
【答案】
(1) $2x(2x + 3y + 1)$
(2) $-3ma(a^2 - 2a + 3)$
(3) $2(x+y)(2a^2 + b - 3c)$
(4) $4m(a-b)(x+y)$
(5) $\frac{1}{6}a(x-2y)^2(2ax - 4ay - 1)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定、整体思想因式分解
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础训练题，覆盖了该方法的常见考法，包括含数字系数、字母因式、整体多项式因式的情况，还涉及相反数因式转化、分解彻底性的要求，能帮助学生熟练掌握提公因式的方法和易错细节。
【难度系数】
0.7
