【分析】
首先观察给定的等式$x^2+xy=99$，等式左侧的多项式各项含有公因式$x$，可运用提公因式法分解因式，将等式转化为两个整式乘积等于99的形式。由于$x$、$y$代表小孩的年龄，均为正整数，因此只需找出99符合实际年龄意义的正整数因数对，即可求出两个小孩的年龄。解题时先分解因式，再列举99的正因数对，最后结合“小孩年龄”的实际要求排除不符合的解即可。
【解析】
1. 对等式左侧分解因式：
$x^2+xy = x(x+y)$，因此原等式可变形为：
$x(x+y)=99$
2. 结合实际意义分析取值：
$x$、$y$为小孩的年龄，因此$x$、$y$均为正整数，且$x＞0$，$y＞0$，可得$x ＜ x+y$，$x$和$x+y$都是99的正整数因数。
3. 列举99的正整数因数对：
99的正整数因数对为$(1,99)$、$(3,33)$、$(9,11)$，逐一验证：
① 若$x=1$，则$x+y=99$，解得$y=98$，不符合小孩年龄，舍去；
② 若$x=3$，则$x+y=33$，解得$y=30$，不符合小孩年龄，舍去；
③ 若$x=9$，则$x+y=11$，解得$y=2$，二者均符合小孩的年龄范围。
【答案】
9岁和2岁
【知识点】
提公因式法分解因式，方程整数解求解，实际问题取值验证
【点评】
本题将因式分解的知识和实际生活场景结合，既考查了提公因式分解因式的基础运算能力，也要求学生结合实际意义对求解结果进行取舍，有助于培养学生严谨的解题思维。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先理解题目给出的规律：如果$(x-a)$是某个多项式的因式，那么当$x=a$时，该多项式的值为0。
（1）已知$(x-3)$是$x^2+kx+12$的因式，将$x=3$代入该多项式令其值为0，得到关于$k$的一元一次方程，解方程即可求$k$；
（2）已知$(x-3)$和$(x-4)$是三次多项式的因式，分别将$x=3$、$x=4$代入三次多项式令其值为0，得到关于$m$、$n$的二元一次方程组，解方程组即可求$m$、$n$；
（3）将求出的$m$、$n$代入多项式，先提取公因式$x$，再对剩余的二次三项式分解即可。
【解析】
（1）$\because (x-3)$是多项式$x^2+kx+12$的一个因式
$\therefore$ 当$x=3$时，$x^2+kx+12=0$
代入得：$3^2+3k+12=0$
化简得：$9+3k+12=0$，解得$k=-7$
（2）$\because (x-3)$和$(x-4)$是多项式$x^3+mx^2+12x+n$的两个因式
$\therefore$ 当$x=3$和$x=4$时，$x^3+mx^2+12x+n=0$
分别代入得：
$\begin{cases} 3^3 + 3^2m + 12×3 +n =0 \\ 4^3 + 4^2m +12×4 +n =0 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases} 9m +n = -63 ① \\ 16m +n = -112 ② \end{cases}$
用②$-$①得：$7m=-49$，解得$m=-7$
把$m=-7$代入①得：$9×(-7)+n=-63$，解得$n=0$
（3）把$m=-7$、$n=0$代入多项式得：
$x^3-7x^2+12x$
提取公因式$x$得：$x(x^2-7x+12)$
对二次三项式分解得：$x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$
$\therefore$ 原式$=x(x-3)(x-4)$
【答案】
(1) $k=-7$；(2) $m=-7$，$n=0$；(3) $x(x-3)(x-4)$
【知识点】
因式的意义，解二元一次方程组，因式分解
【点评】
本题属于材料阅读类题型，需要先准确理解题目给出的规律，再灵活运用规律求解未知系数；分解因式时注意先提取公因式，再对剩余部分分解，避免漏写公因式。
【难度系数】
0.7

【分析】
要判断多项式是否为完全平方式，首先要明确完全平方式的结构特征：完全平方式是三项式，其中两项是符号相同的平方项，第三项是两个平方项对应底数乘积的2倍（符号可正可负），即满足$a^2\pm2ab+b^2$的形式。解题时将每个选项与该结构逐一对照即可判断正误。
【解析】
完全平方式的标准形式为$a^2\pm2ab+b^2$，可因式分解为$(a\pm b)^2$，逐项分析如下：
A. $x^2 + xy + y^2$：两个平方项为$x^2$、$y^2$，对应底数为x、y，乘积的2倍应为$\pm2xy$，选项中间项为xy，不符合要求，不是完全平方式；
B. $x^2 - 2xy - y^2$：两个平方项$x^2$和$-y^2$符号相反，不符合完全平方式两个平方项同号的要求，不是完全平方式；
C. $4m^2 + 2mn + 4n^2$：两个平方项为$(2m)^2$、$(2n)^2$，对应底数为2m、2n，乘积的2倍应为$\pm2×2m×2n=\pm8mn$，选项中间项为2mn，不符合要求，不是完全平方式；
D. $\frac{1}{4}a^2 + ab + b^2$：两个平方项为$(\frac{1}{2}a)^2$、$b^2$，对应底数为$\frac{1}{2}a$、b，乘积的2倍为$2×\frac{1}{2}a× b=ab$，和中间项完全一致，符合完全平方式结构，即$\frac{1}{4}a^2 + ab + b^2=(\frac{1}{2}a+b)^2$，是完全平方式。
【答案】
D
【知识点】
完全平方式，公式法因式分解
【点评】
本题考查完全平方式的判定，核心是牢记完全平方式“首平方、尾平方，积的两倍在中央”的结构特征，逐项对照即可快速得出答案，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

【分析】
解这类因式分解题的思路如下：①先观察多项式是否有公因式，若有公因式优先提取公因式；②再判断剩余多项式的结构：如果是两项且为两个平方项相减的形式，就套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解；如果是三项且符合“两个平方项同号，中间项是两底数乘积的2倍（带正负号）”的形式，就套用完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$分解；③最后检查分解结果是否还能继续分解，保证分解彻底。
【解析】
(1) $a^2-b^2$是两个平方项相减，直接套用平方差公式，可得$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$；
(2) $a^2+2ab+b^2$符合完全平方和公式的结构，套用公式可得$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，故括号内填$a+b$；
(3) $a^2-2ab+b^2$符合完全平方差公式的结构，套用公式可得$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，故括号内填$a-b$；
(4) 先将$x^2-4y^2$变形为$x^2-(2y)^2$，属于平方差结构，套用公式得$x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y)$；
(5) $x^2-10x+25$中，$x^2$是$x$的平方，$25=5^2$，中间项$-10x=-2× x×5$，符合完全平方差公式结构，套用公式得$x^2-10x+25=(x-5)^2$；
(6) 先提取公因式3，得$3(x^2-1)$，再将$x^2-1$套用平方差公式分解，最终得$3x^2-3=3(x-1)(x+1)$。
【答案】
(1) $a-b,a+b$；(2) $a+b$；(3) $a-b$；(4) $(x-2y)(x+2y)$；(5) $(x-5)^2$；(6) $3(x-1)(x+1)$
【知识点】
平方差公式因式分解，完全平方公式因式分解，提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对两个常用因式分解公式的识别与应用，需要注意因式分解要遵循“先提公因式、再套公式、最后检查分解是否彻底”的原则，避免出现漏提公因式、分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.85

【分析】
因式分解需遵循“先提公因式，后用公式”的常规思路：首先观察多项式各项，发现两项都含有公因式3，因此第一步先提取公因式3；提取后得到的多项式$x^2-9$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，因此再套用平方差公式继续分解，直到所有因式都无法再分解即可得到最终结果。
【解析】
解：$3x^2 - 27$
$= 3(x^2 - 9)$（提取公因式3）
$= 3(x+3)(x-3)$（利用平方差公式分解$x^2-9$）
【答案】
$3(x+3)(x-3)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题时要注意遵守因式分解的顺序，同时保证结果分解彻底，避免出现只提取公因式未继续分解，或者漏写公因式的错误。
【难度系数】
0.8