请看下面的问题:把 $x^4 + 4$ 分解因式.
分析:这个二项式既无公因式可提,也不能直接利用公式,怎么办呢?
19世纪的法国数学家索菲·热尔曼抓住了该式只有两项,而且属于平方和 $(x^2)^2 + 2^2$ 的形式,要使用公式就必须添一项 $4x^2$,随即将此项 $4x^2$ 减去,即可得 $x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 2x + 2) · (x^2 - 2x + 2).$
人们为了纪念索菲·热尔曼给出的这一解法,就把它叫作“索菲·热尔曼恒等式”,请你依照索菲·热尔曼的做法,将下列各式因式分解.
(1) $x^4 + 4y^4$;
(2) $x^2 - 2ax - b^2 - 2ab.$
答案：(1) $x^4 + 4y^4 = x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4 - 4x^2y^2 = (x^2 + 2y^2)^2 - 4x^2y^2 = (x^2 + 2y^2 + 2xy)(x^2 + 2y^2 - 2xy)$；
(2) $x^2 - 2ax - b^2 - 2ab = x^2 - 2ax + a^2 - a^2 - b^2 - 2ab = (x - a)^2 - (a + b)^2 = (x - a + a + b)(x - a - a - b) = (x + b)(x - 2a - b)$.
解析：
【分析】
(1) 观察$x^4+4y^4$的结构，和例题中$x^4+4$类似，属于平方和形式$(x^2)^2+(2y^2)^2$，无法直接分解，因此仿照例题方法，先添项$4x^2y^2$凑完全平方，再减去该项，将原式转化为平方差形式，即可用平方差公式分解。
(2) 观察$x^2 - 2ax - b^2 - 2ab$，含$x$的项$x^2-2ax$可添加$a^2$凑出关于$x$的完全平方，再减去$a^2$，剩余含$a、b$的项可整理为另一个完全平方的相反数，整体转化为平方差形式后再分解。
【解析】
(1) 对$x^4+4y^4$因式分解：
先添项拆项，得：
$x^4 + 4y^4 = x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4 - 4x^2y^2$
前三项用完全平方公式化简，得：
$=(x^2 + 2y^2)^2 - 4x^2y^2$
将$4x^2y^2$改写为$(2xy)^2$，用平方差公式分解：
$=(x^2 + 2y^2 + 2xy)(x^2 + 2y^2 - 2xy)$
(2) 对$x^2 - 2ax - b^2 - 2ab$因式分解：
先添项拆项，给$x^2-2ax$配$a^2$凑完全平方，得：
$x^2 - 2ax - b^2 - 2ab = x^2 - 2ax + a^2 - a^2 - b^2 - 2ab$
前三项用完全平方公式化简，后三项提取负号后用完全平方公式化简，得：
$=(x - a)^2 - (a^2 + 2ab + b^2) = (x - a)^2 - (a + b)^2$
用平方差公式分解后化简各因式：
$=(x - a + a + b)(x - a - a - b) = (x + b)(x - 2a - b)$
【答案】
(1) $(x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2xy + 2y^2)$
(2) $(x + b)(x - 2a - b)$
【知识点】
添项拆项法分解因式；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的灵活应用，核心是通过添项、拆项构造符合乘法公式的结构，再利用公式完成分解，解题时需准确把握完全平方公式、平方差公式的结构特征，合理变形。
【难度系数】
0.7
