【分析】
解题的核心是先明确因式分解的定义，判断时需抓住三个关键要点：①变形的对象是多项式；②变形结果是几个整式的乘积形式，不能存在加减余项；③因式分解和整式乘法是互逆变形，方向不能混淆。我们对照这三个要点逐一排查选项即可得到答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
逐个分析选项：
A. 左边$3x^2 + 2x$是多项式，右边是$x$和$(3x+2)$两个整式的乘积，完全符合因式分解的定义，该选项正确。
B. 右边$x(x - 1) - 2$是差的形式，不是整式乘积的形式，不符合要求，错误。
C. 该式是整式乘法运算，是从乘积形式推导得到多项式，和因式分解的变形方向相反，错误。
D. 左边$a^2b$是单项式，不属于因式分解的研究对象，错误。
【答案】
A
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对因式分解定义的理解，只要牢牢抓住“多项式转化为几个整式乘积”的核心特征，区分清因式分解和整式乘法的变形方向，就能快速做出判断。
【难度系数】
0.8

【分析】
要确定多项式各项的公因式，需按照公因式的确定规则分步思考：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母的最低次幂，最终将两部分相乘就是所求的公因式。本题多项式包含$9a^2x^2$和$-18a^4x^3$两项，分别对应分析系数和字母的公共部分即可。
【解析】
1. 求系数的最大公约数：两项的系数分别为9和18，二者的最大公约数是9；
2. 找相同字母的最低次幂：两项均含有字母a和x，其中a的次数分别为2和4，最低次幂为$a^2$；x的次数分别为2和3，最低次幂为$x^2$；
3. 组合得到公因式：将系数最大公约数与相同字母的最低次幂相乘，可得公因式为$9a^2x^2$。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定、最大公约数、最低次幂
【点评】
本题考查公因式的确定方法，属于基础题型，熟练掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的找公因式规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

【分析】
解决这道题首先要观察多项式的结构，发现两项中分别含有(a-2)和(2-a)，二者互为相反数，第一步先把它们统一成相同的因式；接着找出多项式的公因式，用提公因式法分解，最后检查分解结果是否彻底，再对应选项判断即可。
【解析】
首先对式子中的(2-a)进行变形：因为$2-a = -(a-2)$，代入原式得：
$m^2(a-2)+m(2-a) = m^2(a-2) - m(a-2)$
观察变形后的式子，两项的公因式为$m(a-2)$，提取公因式：
$m^2(a-2) - m(a-2) = m(a-2)(m - 1)$
再逐一验证选项：
A选项中$(m^2 - m)$还可继续提取公因式$m$，分解不彻底，错误；
B选项提取公因式后剩余项符号错误，应为$m-1$而非$m+1$，错误；
D选项中$(2-a)$未正确变形为$(a-2)$，符号错误，错误。
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解，整式符号变换
【点评】
本题属于因式分解的基础题，核心考查提公因式法的应用，做题时要注意处理互为相反数的多项式的符号关系，同时牢记因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底或符号错误的问题。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先根据长方形的周长和面积公式求出a+b与ab的值，再对所求代数式$a^3b+ab^3$进行因式分解，先提取公因式$ab$，再将剩余的$a^2+b^2$利用完全平方公式变形为与$(a+b)$、$ab$相关的形式，最后整体代入数值计算即可，无需单独求解a、b的具体值，可简化计算过程。
【解析】
解：由题意可知，长方形周长为10，面积为6，因此：
$2(a+b)=10$，解得$a+b=5$；
$ab=6$。
对所求代数式因式分解：
$a^3b + ab^3 = ab(a^2 + b^2)$
根据完全平方公式变形得$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$，代入上式可得：
原式$=ab[(a+b)^2 - 2ab]$
将$a+b=5$，$ab=6$代入：
原式$=6×(5^2 - 2×6)=6×(25 - 12)=6×13=78$
【答案】
D
【知识点】
因式分解，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题重点考查代数式的变形与计算能力，将所求代数式通过因式分解、公式变形转化为含已知条件的形式，用整体代入法求解，避免了复杂的计算，体现了代数运算中整体思想的便利性。
【难度系数】
0.7

【分析】
要判断多项式能否用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式分解的多项式需满足两个核心特征：一是多项式为二项式，两项都能写成某个整式的平方形式；二是两项符号相反，一正一负。解题时对照这个特征逐一排查选项即可得出结果。
【解析】
平方差公式的结构为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，我们逐个分析选项：
A选项：$x^2 + y^2$两项均为正，符号相同，不符合平方差公式特征，无法用平方差公式分解；
B选项：$x^3 - y^2$中$x^3$不是整式的平方形式，不符合要求，无法用平方差公式分解；
C选项：$-x^2 + y^2$可变形为$y^2 - x^2$，是$y$的平方减去$x$的平方，完全符合平方差公式特征，可分解为$(y+x)(y-x)$，满足要求；
D选项：$-x^2 - y^2$变形后为$-(x^2 + y^2)$，两项同号，不符合平方差公式特征，无法分解。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式 2. 因式分解
【点评】
本题主要考查平方差公式分解因式的适用条件，解题关键是准确牢记平方差公式的结构特征，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断哪个式子能用完全平方公式因式分解，首先要明确完全平方公式的结构特征：能用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方且同号，剩下的一项是这两个数（或式）乘积的2倍，符号可正可负。我们只需逐个核对选项是否符合该特征即可求解。
【解析】
完全平方公式的因式分解形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，逐一分析选项：
选项A：$x^2+x+1$，平方项为$x^2$和$1^2$，对应中间项应为$\pm2x$，实际中间项是$x$，不符合公式结构，不能用完全平方公式分解。
选项B：$x^2+2x-1$，两个平方项为$x^2$和$-1$，符号一正一负，不符合平方项同号的要求，不能用完全平方公式分解。
选项C：$x^2-1$是两项式，属于平方差的结构，不符合完全平方公式要求的三项式结构，不能用完全平方公式分解。
选项D：$x^2-6x+9$，是三项式，平方项为$x^2$和$3^2$，均为正号，中间项$-6x=-2× x×3$，符合$a^2-2ab+b^2$的结构，可分解为$(x-3)^2$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 因式分解的识别
【点评】
本题核心考查对完全平方公式结构特征的理解与运用，只要熟练掌握完全平方公式“首平方，尾平方，积的2倍在中央”的结构特点，就能快速准确判断，是对基础公式应用的典型考查。
【难度系数】
0.9

【分析】
要解决这道题，首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式有两种形式，分别是$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，即首尾两项是平方项，中间项是首尾两项底数乘积的2倍，符号可正可负。本题中先确定给定多项式的两个平方项，再对应中间项的系数列方程求解即可，注意不要漏掉中间项为负的情况。
【解析】
已知$x^2+(m-3)x+4$是完全平方式，首先确定首尾两个平方项：
首项为$x^2=(x)^2$，尾项为$4=2^2$，
根据完全平方公式的结构，中间项$(m-3)x$应该等于$\pm2× x×2=\pm4x$，
因此可列方程：
$m-3=4$ 或 $m-3=-4$，
分别解方程：
当$m-3=4$时，$m=4+3=7$；
当$m-3=-4$时，$m=-4+3=-1$。
所以$m$的值为7或-1。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题重点考查完全平方式的结构特点，解题的易错点是忽略完全平方式包含“和的平方”与“差的平方”两种情况，从而漏掉$m=-1$这个解，做题时要注意全面考虑两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先观察已知条件中的$a^2 - 4b^2$，其结构符合平方差公式的特征，我们可以先利用平方差公式对该式因式分解，分解后会出现已知的$a+2b$项，再将题目给出的$a+2b=4$、$a^2 - 4b^2 =8$整体代入，即可直接求出$a-2b$的值，无需单独计算a、b的取值。
【解析】
解：根据平方差公式对$a^2 - 4b^2$因式分解可得：
$a^2 - 4b^2 = a^2 - (2b)^2 = (a+2b)(a-2b)$
已知$a+2b=4$，$a^2 - 4b^2=8$，将两个已知条件代入上式得：
$4 × (a - 2b) = 8$
等式两边同时除以4，解得：
$a - 2b = 2$
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，整体代入求值
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查平方差公式的逆用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，结合整体代入思想简化计算，避免单独求解a、b值带来的额外计算量。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断多项式能否用完全平方公式分解因式，首先明确完全平方公式分解的多项式需满足三个特征：①是三项式；②有两项可写成两个数（或式）的平方，且这两项符号相同；③第三项是这两个数（或式）乘积的2倍（符号可正可负）。我们只需逐个验证每个式子是否符合上述特征，统计不符合的个数即可得到答案。
【解析】
完全平方公式分解因式的结构为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，逐个分析如下：
① $x^2 -10x +25$：可写成$x^2-2· x·5+5^2$，符合完全平方公式特征，可分解为$(x-5)^2$，能用完全平方公式分解；
② $4a^2 +4a -1$：平方项$4a^2$为正，常数项为$-1$，两个平方项符号不同，不符合完全平方公式特征，不能用；
③ $x^2 -2x -1$：平方项$x^2$为正，常数项为$-1$，两个平方项符号不同，不符合特征，不能用；
④ $-m^2 +m -\frac{1}{4}$：提取负号得$-(m^2 -m +\frac{1}{4})$，括号内可写成$m^2-2· m·\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2$，符合特征，可分解为$-(m-\frac{1}{2})^2$，能用；
⑤ $4x^4 -x^2 +\frac{1}{4}$：$4x^4=(2x^2)^2$，$\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2$，若为完全平方，中间项应为$\pm2·2x^2·\frac{1}{2}=\pm2x^2$，但原式中间项是$-x^2$，不符合特征，不能用。
综上，不能用完全平方公式分解的有②③⑤，共3个。
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式分解因式
2. 多项式结构判断
【点评】
本题核心考查对完全平方公式结构的理解，解题时要牢记“首平方、尾平方，首尾两倍在中央”的口诀，尤其注意平方项需同号、中间项系数要符合两倍乘积的要求，避免因漏看符号或系数判断错误失分。
【难度系数】
0.6

【分析】
已知给出两个含a、b、c的等式，要求分式的值，我们可以先通过代入消元法，将a用含b的式子表示（由a-b=4得a=b+4），代入第二个等式后整理，凑成完全平方与平方相加的形式，再利用“若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求出b、c的值，进而得到a的值，最后代入所求分式计算即可。
【解析】
解：
∵ $a - b = 4$
∴ $a = b + 4$
将$a = b + 4$代入$ab + c^2 = -4$，得：
$b(b + 4) + c^2 = -4$
整理得：$b^2 + 4b + 4 + c^2 = 0$，即$(b + 2)^2 + c^2 = 0$
∵ $(b + 2)^2 ≥ 0$，$c^2 ≥ 0$
∴ $\begin{cases} b + 2 = 0 \\ c = 0 \end{cases}$
解得：$b = -2$，$c = 0$
∴ $a = b + 4 = -2 + 4 = 2$
将$a=2$，$b=-2$，$c=0$代入$\frac{ab}{a^2 + b^2 + c^2}$得：
原式 = $\frac{2×(-2)}{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \frac{-4}{4 + 4} = -\frac{1}{2}$
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，代数式求值
【点评】
本题是整式运算与代数式求值的综合题型，解题的核心是通过代入消元和完全平方公式的变形，将已知等式转化为非负数和为0的形式，从而求出各字母的值，考查了学生对公式的灵活运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6