【分析】
解题时先观察第一个等式左边的多项式，可发现两项都含有公因式$xy$，因此先通过提公因式法对左边进行因式分解，变形后会出现$xy$和$x+y$的组合，再将已知的$xy=7$整体代入，即可直接求出$x+y$的值。
【解析】
首先对等式$x^2y + xy^2 = 42$的左边提取公因式$xy$，可得：
$xy(x + y) = 42$
将已知条件$xy = 7$代入上式得：
$7(x + y) = 42$
等式两边同时除以7，解得：
$x + y = 6$
【答案】
6
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握提公因式法分解因式，通过整体代入已知条件简化计算，无需分别求出x、y的具体值即可得到结果。
【难度系数】
0.8

【分析】
要对多项式进行因式分解，首先观察多项式的两项是否含有公因式：第一步先找系数的最大公因数，3和21的最大公因数是3；第二步找两项共有的相同字母，两项都含有字母a，且a的最低次幂是1次，字母b仅在第二项出现，因此公因式为3a。确定公因式后，将公因式提取出来，用原多项式的每一项除以公因式，得到括号内的剩余部分即可完成因式分解。
【解析】
第一步：确定公因式
多项式$3a^2 - 21ab$中，系数的最大公因数是3，两项共有的相同字母为$a$，且$a$的最低次数为1，因此公因式为$3a$。
第二步：提取公因式
将$3a$提取出来，分别计算两项除以公因式的结果：
$3a^2÷3a=a$，$-21ab÷3a=-7b$
因此$3a^2 - 21ab=3a(a-7b)$。
【答案】
$3a(a-7b)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，核心考查提取公因式法的应用，解题关键是准确找到多项式各项的公因式，注意系数取各系数的最大公因数，相同字母取最低次幂，提取公因式时要注意剩余项的符号不要出错。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题可利用因式分解与整式乘法是互逆运算的关系求解，首先将等式右侧的整式乘积展开为多项式形式，再根据两个多项式相等时对应项的系数相等，分别列出关于m、n的方程，求解得到m、n的值后即可计算m+n的结果。
【解析】
首先将等式右侧的$(x+3)(x-n)$展开：
$\begin{aligned}(x+3)(x-n)&=x· x - x· n + 3· x - 3· n\\&=x^2 + (3 - n)x - 3n\end{aligned}$
已知$x^2 -6x +m=(x+3)(x-n)$，因此左右两个多项式对应项的系数相等：
1. 一次项系数相等：$3 - n = -6$，解得$n=3 + 6=9$；
2. 常数项相等：$m = -3n$，将$n=9$代入得$m=-3×9=-27$。
因此$m + n = -27 + 9 = -18$。
【答案】
$-18$
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 多项式对应系数相等
【点评】
本题是因式分解相关的基础题型，解题核心是利用因式分解和整式乘法的互逆关系，通过对应系数相等求出未知参数，熟练掌握整式乘法的运算法则是解题的前提。
【难度系数】
0.7

【分析】
观察到式子$3^{48}-1$是高次幂减1的形式，且指数48为偶数，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的结构特征。解题时可以多次运用平方差公式对原式进行因式分解，逐步降低幂的次数，直到分解出20~30之间的整数因数，即可得到所求的两个整数。
【解析】
利用平方差公式对$3^{48}-1$逐步因式分解：
$\begin{aligned}3^{48}-1&=(3^{24})^2-1^2=(3^{24}-1)(3^{24}+1)\\&=(3^{12}-1)(3^{12}+1)(3^{24}+1)\\&=(3^6-1)(3^6+1)(3^{12}+1)(3^{24}+1)\\&=(3^3-1)(3^3+1)(3^6+1)(3^{12}+1)(3^{24}+1)\end{aligned}$
计算得$3^3-1=27-1=26$，$3^3+1=27+1=28$，二者都在20与30之间，且都是$3^{48}-1$的因数，因此$3^{48}-1$能被26和28整除。
【答案】
26，28
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解的应用
【点评】
本题是整式乘法公式的典型应用，核心是通过平方差公式对高次幂式子逐步降次分解，从而找到指定范围内的因数，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题首先要准确理解题目给出的新运算规则，将$aⓧ25$中的$a$对应规则里的$a$，25对应规则里的$b$，代入得到对应的多项式；再对多项式进行因式分解，遵循因式分解的常规步骤：先提取公因式，再观察剩余部分是否可以用乘法公式继续分解，直到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
根据新定义$aⓧb=a^3 - ab$，将$b=25$代入运算：
$aⓧ25 = a^3 - a×25 = a^3 -25a$
第一步提取公因式$a$，可得：
$a^3 -25a = a(a^2 -25)$
第二步观察$a^2-25$符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的形式，其中$m=a$，$n=5$，继续分解得：
$a(a^2 -25) = a(a+5)(a-5)$
【答案】
$a(a+5)(a-5)$
【知识点】
新定义运算，提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题结合新定义运算考查因式分解的基础应用，解题核心是先正确转化新运算得到对应多项式，再按照因式分解的要求分解彻底，注重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8

【分析】
第一问求ab的最小值：我们可以利用完全平方公式的非负性，由$(a+b)^2≥0$展开得到$a^2+b^2≥-2ab$，再将已知条件$a^2+b^2=3+ab$代入该不等式，即可得到关于ab的不等式，求解就能得到ab的取值范围，进而得到最小值。
第二问求S的取值范围：首先利用完全平方公式和平方差公式将S展开并合并同类项化简，再将$a^2+b^2=3+ab$代入化简后的式子，把S转化为只含ab的代数式，最后结合ab的取值范围即可求出S的取值范围。
【解析】
1. 求ab的最小值：
对任意实数a,b，有$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2≥0$，即$a^2+b^2≥-2ab$。
将$a^2+b^2=3+ab$代入上式得：
$3+ab≥-2ab$
移项得：$3≥-3ab$
两边同时除以-3，不等号方向改变，得：$ab≥-1$
当$a=-b$时等号成立，代入原式验证得$ab=-1$可取，故ab的最小值为-1。
另外，由$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2≥0$，代入$a^2+b^2=3+ab$得$3+ab≥2ab$，解得$ab≤3$，即ab的取值范围是$-1≤ ab≤3$。
2. 求S的取值范围：
先化简S：
$S=(4a-6b)^2 + (2a+4b)(2a-4b)$
分别展开：
$(4a-6b)^2=16a^2-48ab+36b^2$
$(2a+4b)(2a-4b)=(2a)^2-(4b)^2=4a^2-16b^2$
合并同类项：
$S=16a^2-48ab+36b^2+4a^2-16b^2=20a^2+20b^2-48ab$
将$a^2+b^2=3+ab$代入得：
$S=20(3+ab)-48ab=60+20ab-48ab=60-28ab$
因为$-1≤ ab≤3$，且S随ab的增大而减小：
当$ab=3$时，$S_{min}=60-28×3=-24$
当$ab=-1$时，$S_{max}=60-28×(-1)=88$
故S的取值范围是$-24≤ S≤88$。
【答案】
$-1$；$-24≤ S≤88$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，不等式的性质
【点评】
本题综合考查了整式乘法公式的应用以及代数式最值的求解，解题关键是熟练掌握乘法公式对目标式进行化简，结合完全平方的非负性得到相关代数式的取值范围，再代入计算即可。
【难度系数】
0.6

【分析】
因式分解的核心思路遵循“一提、二套、三查”的步骤：①提：先观察多项式是否存在公因式，若有先提取公因式，遇到互为相反数的因式要先统一符号；②套：提取公因式后，根据剩余因式的项数选择公式，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式；③查：最后检查每个因式是否还能继续分解，保证分解彻底。对于没有公因式的多项式，可先通过整式乘法整理成一般形式，再进行分解。
【解析】
(1) 先统一因式符号，将$y-x$变形为$-(x-y)$，则：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^2(x-y)+4(x-y)\\&=(x-y)(a^2+4)\end{aligned}$
$a^2+4$无法继续分解，完成分解。
(2) 先提取公因式$2a$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2a(x^2+4xy+4y^2)\\&=2a(x+2y)^2\end{aligned}$
（剩余因式符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=x$，$b=2y$）
(3) 先提取公因式$xy$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=xy(4x^2+4xy+y^2)\\&=xy(2x+y)^2\end{aligned}$
（剩余因式符合完全平方公式，其中$a=2x$，$b=y$）
(4) 先展开整式乘积整理多项式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4(x^2-x-6)+25\\&=4x^2-4x-24+25\\&=4x^2-4x+1\\&=(2x-1)^2\end{aligned}$
（整理后所得多项式符合完全平方公式，其中$a=2x$，$b=1$）
【答案】
(1) $(a^2 +4)(x - y)$；(2) $2a(x+2y)^2$；(3) $xy(2x+y)^2$；(4) $(2x-1)^2$
【知识点】
提取公因式法，公式法因式分解，整式乘法运算
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，解题时严格按照“一提二套三查”的步骤操作即可，需注意互为相反数的因式符号转换，第(4)小题需要先展开整理为多项式的标准形式再分解，最后要检查分解结果是否彻底，避免出现未分解完全的错误。
【难度系数】
0.75

【分析】
观察原式结构可发现两项中都含有公因式$(x+7)$，因此首先用提取公因式法对原式进行因式分解，得到化简后的式子，再将$a$和$x$的取值代入化简后的式子计算结果即可，先分解再求值的思路能简化运算，降低计算出错的概率。
【解析】
解：先对原式分解因式，提取公因式$(x+7)$：
$4a^2(x+7)-3(x+7)=(x+7)(4a^2-3)$
将$a=-5$，$x=3$代入化简后的式子计算：
原式$=(3+7)×[4×(-5)^2-3]$
$=10×(4×25-3)$
$=10×(100-3)$
$=10×97$
$=970$
【答案】
$970$
【知识点】
提公因式法分解因式，代数式求值
【点评】
本题属于整式运算的常规基础题，重点考查提取公因式法因式分解的应用，先分解再求值的运算思路可有效减少计算量，熟练识别公因式是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.85

【分析】
观察已知等式，左边含有a、b的二次项、一次项和常数项，优先考虑用配方法变形。首先将常数项34拆分为9和25，分别与a的二次项、一次项，b的二次项、一次项组合，凑成两个完全平方式，再根据平方的非负性：两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，即可求出a、b的值。
【解析】
解：$\because a^2 + b^2 -6a +10b +34=0$，
$\therefore$ 拆分常数项分组得$(a^2-6a+9)+(b^2+10b+25)=0$，
由完全平方公式得$(a-3)^2+(b+5)^2=0$.
$\because (a-3)^2\ge0$，$(b+5)^2\ge0$，
两个非负数的和为0，则两个非负数均为0，
$\therefore (a-3)^2=0$，$(b+5)^2=0$，
$\therefore a=3$，$b=-5$.
【答案】
$a=3$，$b=-5$
【知识点】
1. 配方法
2. 完全平方公式
3. 非负数的性质
【点评】
本题是代数变形的常见基础题型，解题核心是掌握配方法的技巧，合理拆分常数项凑出完全平方式，再结合非负数的性质即可求解，熟练掌握配方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7

【分析】要证明整式能被8整除，需将其变形为8与某个整数乘积的形式。观察多项式结构，$(4m+5)^2 -9$是平方差的形式（9可写为$3^2$），因此首先用平方差公式进行因式分解；分解得到两个一次因式后，对因式提取公因式整理出公因数8；再结合m是整数的条件，证明剩余因式的乘积为整数，即可完成证明。
【解析】证明：
$\begin{aligned}(4m+5)^2 -9&=(4m+5)^2 - 3^2\\&=(4m+5-3)(4m+5+3)\\&=(4m+2)(4m+8)\\&=8(m+2)(2m+1)\end{aligned}$
∵m是整数，
∴$m+2$和$2m+1$均为整数，即$(m+2)(2m+1)$是整数，
∴$(4m+5)^2 -9$是8的整数倍，因此该多项式能被8整除。
【答案】对于任何整数$m$，多项式$(4m+5)^2 -9$都能被8整除，得证。
【知识点】平方差公式；因式分解；整式整除性质
【点评】本题是因式分解应用的基础题型，解题核心是熟练运用平方差公式分解多项式，再结合整数的性质完成整除性的推导，考查学生对公式的运用能力和逻辑推导能力。
【难度系数】0.8