【分析】
解题按照规律验证、规律应用的思路分步推进：
1. 验证规律：题目已给出两数形式为$a+b$和$a-b$，先计算两数和确认其为定值，再利用平方差公式计算两数乘积，分析$b$的大小对乘积的影响，即可完成规律证明。
2. 应用规律：
① 长方形周长为20m时，长与宽的和为固定值10m，直接套用“两数和一定，差的绝对值越小乘积越大”的规律，当长和宽相等时差为0，此时面积最大，代入数值计算即可。
② 观察发现$(\dfrac{1}{3}x + 2)$与$(9 - x)$的和不是定值，需调整系数凑定值：将前一个代数式乘3后与后一个代数式相加，$x$项恰好抵消得到定值15，此时$3×(\dfrac{1}{3}x + 2)$与$(9 - x)$的和为定值，当二者相等时乘积最大，再换算得到原代数式的最大值即可。
【解析】
(1) 证明：两个数的和为$(a+b)+(a-b)=2a$，即和为定值$2a$；
两数的乘积为$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，
∵ $b≥0$，$b^2$随$b$的增大而增大，
∴ $a^2 - b^2$随$b$的增大而减小，即$b$越小，乘积越大；
当$b=0$时，两数相等，乘积取得最大值$a^2$，
故两数和一定时，差的绝对值越小乘积越大，规律得证。
(2) ① 解：长方形的周长为20m，因此长+宽$=20÷2=10\mathrm{m}$，为定值，
根据规律，当长和宽的差的绝对值最小时，面积最大，即长=宽$=10÷2=5\mathrm{m}$时，
最大面积为$5×5=25\mathrm{m}^2$。
② 解：设$A=\dfrac{1}{3}x + 2$，$B=9 - x$，
则$3A+B=3×(\dfrac{1}{3}x + 2)+(9 - x)=x+6+9-x=15$，为定值，
根据规律，当$3A=B$时，$3A· B$的乘积最大，
列方程：$3×(\dfrac{1}{3}x + 2)=9 - x$，
解得$x=\dfrac{3}{2}$，
此时$3A=B=\dfrac{15}{2}$，$3A· B=(\dfrac{15}{2})^2=\dfrac{225}{4}$，
因此$A· B=\dfrac{1}{3}×\dfrac{225}{4}=\dfrac{75}{4}$，
即$(\dfrac{1}{3}x + 2)(9 - x)$的最大值为$\dfrac{75}{4}$。
【答案】
(1) 规律证明成立；
(2) ① 长方形的最大面积为$\boxed{25\mathrm{m}^2}$；
② 代数式的最大值为$\boxed{\dfrac{75}{4}}$。
【知识点】
平方差公式，和定积大规律应用，整式运算
【点评】
本题是典型的规律探究应用题，先通过整式运算验证结论，再用结论解决几何、代数两类最值问题，既考察了整式运算的基础能力，又锻炼了新规律的迁移应用能力，解题核心是合理构造定值和，正确套用规律。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题核心是利用完全平方公式的变形关系求解，解题思路如下：
1. 第(1)问：已知两数和与两数平方和，对两数和的完全平方公式展开，将已知条件代入即可直接求出两数的乘积xy；
2. 第(2)问①：先将所求代数式展开整理，结合已知条件变形得到的$x^2-3x=10$，整体代入计算即可；
3. 第(2)问②：两个底数形式复杂，采用换元法简化式子，找到两个新元的差，再利用两数差的完全平方公式变形，代入已知平方和即可求出两元的乘积；
4. 第(3)问：先根据半圆面积公式写出两个半圆面积和的表达式，求出$AC^2+BC^2$的值，再结合$AC+BC$的和，利用完全平方公式变形求出$AC·BC$的值，最后代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 已知$x+y=6$，将等式两边同时平方得：
$(x+y)^2=6^2=36$
根据完全平方公式展开得：$x^2+2xy+y^2=36$
把$x^2+y^2=22$代入上式得：$22+2xy=36$
解得：$2xy=14$，即$xy=7$
(2) ① 已知$x(3-x)=-10$，整理得：$x^2-3x=10$
将所求式子展开：
$x^2+(3-x)^2=x^2+9-6x+x^2=2x^2-6x+9$
变形为$2(x^2-3x)+9$，把$x^2-3x=10$代入得：
$2×10+9=29$
② 设$2025-x=a$，$2026-x=b$，则$a-b=(2025-x)-(2026-x)=-1$，且已知$a^2+b^2=17$
将$a-b=-1$两边平方得：$(a-b)^2=(-1)^2=1$
展开得：$a^2-2ab+b^2=1$
把$a^2+b^2=17$代入得：$17-2ab=1$
解得：$2ab=16$，即$ab=8$
因此$(2025-x)(2026-x)=ab=8$
(3) 由半圆面积公式可得：
$S_1=\frac{1}{2}π·(\frac{AC}{2})^2$，$S_2=\frac{1}{2}π·(\frac{BC}{2})^2$
已知$S_1+S_2=13π$，代入得：
$\frac{1}{2}π·\frac{AC^2}{4}+\frac{1}{2}π·\frac{BC^2}{4}=13π$
整理得：$\frac{π}{8}(AC^2+BC^2)=13π$
两边同时除以π得：$\frac{1}{8}(AC^2+BC^2)=13$，解得$AC^2+BC^2=104$
已知$AC+BC=12$，两边平方得：$(AC+BC)^2=12^2=144$
展开得：$AC^2+2AC·BC+BC^2=144$
把$AC^2+BC^2=104$代入得：$104+2AC·BC=144$
解得：$AC·BC=20$
因为$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，所以面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}×20=10$
【答案】
(1) $xy=7$；(2) ①$\boxed{29}$；②$\boxed{8}$；(3) $△ ABC$的面积为$\boxed{10}$
【知识点】
完全平方公式变形，换元法求值，几何面积计算
【点评】
本题以完全平方公式的变形为核心，综合考查了代数式求值、换元法的应用以及几何图形面积的计算，需要熟练掌握完全平方公式的几种常见变形，学会用整体代入和换元法简化复杂运算，兼顾代数运算能力和几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7