【分析】
约分的依据是分式的基本性质，即分式的分子、分母同时除以同一个不为0的整式，分式的值不变。解题思路如下：1. 若分子、分母是单项式，先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，组合得到公因式后约去，注意处理符号；2. 若分子、分母是多项式，先分别对分子、分母因式分解，再找公因式约去，若有互为相反数的因式，先变形为相同因式再约分，本题默认分式有意义（分母不为0）。
第(1)题分子是完全平方式，分母是平方差形式，因式分解后可找到公因式$(x+3)$；第(2)题是单项式约分，公因式为$5abc$；第(3)题分母可变形为$-(x^2-16)$，因式分解后公因式为$(x-4)$，约分需注意符号变化。
【解析】
(1) 先对分子、分母因式分解：
分子$x^2+6x+9=(x+3)^2$，分母$x^2-9=(x+3)(x-3)$
则原式$=\dfrac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}=\dfrac{x+3}{x-3}$
(2) 分子分母的公因式为$5abc$，分子分母同时除以$5abc$：
原式$=\dfrac{-125ab^2c÷ 5abc}{15a^2bc÷ 5abc}=-\dfrac{25b}{3a}$
(3) 先对分子、分母因式分解，注意分母变形：
分子$x^2-4x=x(x-4)$，分母$16-x^2=-(x^2-16)=-(x+4)(x-4)$
则原式$=\dfrac{x(x-4)}{-(x+4)(x-4)}=-\dfrac{x}{x+4}$
【答案】
(1) $\dfrac{x+3}{x-3}$；(2) $-\dfrac{25b}{3a}$；(3) $-\dfrac{x}{x+4}$
【知识点】
分式的基本性质；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础题型，重点考查因式分解的熟练度和约分规则的应用，解题时需注意互为相反数的因式的符号处理，掌握该类题型是后续学习分式四则运算的基础。
【难度系数】
0.8

【分析】
约分的核心是利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，解题思路如下：
1. 第(1)题：首先处理互为相反数的底数的幂的符号，$(y-x)$和$(x-y)$互为相反数，奇数次幂符号会发生改变，先将分子的底数统一为$(x-y)$，再找到分子和分母的公因式约去即可。
2. 第(2)题：先对分子提取公因式完成因式分解，再对分母因式分解，找准公因式后约去即可，注意要满足分母不为0的隐含条件。
【解析】
(1) 结合约分结果可确定原式分母为$(x-y)$：
先变形分子：$(y-x)^5=[-(x-y)]^5=-(x-y)^5$，
代入原式得$\dfrac{8(y-x)^5}{x-y}=\dfrac{8×[-(x-y)^5]}{x-y}=\dfrac{-8(x-y)^5}{x-y}$，
约去公因式$(x-y)$（$x≠ y$），得$-8(x-y)^4$。
(2) 结合约分结果可确定原式分母为$x^2-6x+9$：
先因式分解分子：$x^2-3x=x(x-3)$，
因式分解分母：$x^2-6x+9=(x-3)^2$，
代入原式得$\dfrac{x^2-3x}{x^2-6x+9}=\dfrac{x(x-3)}{(x-3)^2}$，
约去公因式$(x-3)$（$x≠3$），得$\dfrac{x}{x-3}$。
【答案】
(1) $-8(x-y)^4$；(2) $\dfrac{x}{x-3}$
【知识点】
分式的基本性质，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础题型，解题关键是准确对分子、分母因式分解，需特别注意互为相反数的底数的幂的符号处理，约分时要找准公因式，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7

【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将每个分式的分子分母同乘相应的整式，使分母都变为最简公分母。
针对(1)：两个分母分别为$2ab^2$、$8bc^2$，找最简公分母时，系数取2和8的最小公倍数8，相同字母取最高次幂：a的最高次为1次，b的最高次为2次，c的最高次为2次，因此最简公分母为$8ab^2c^2$，再分别对两个分式变形即可。
针对(2)：先对第一个分式的分母$4m^2-9$因式分解，得$(2m+3)(2m-3)$，第二个分母是$2m+3$，因此最简公分母为$(2m+3)(2m-3)$即$4m^2-9$，再对第二个分式变形即可。
【解析】
(1) 第一步，确定最简公分母为$8ab^2c^2$：
对$\frac{3c}{2ab^2}$变形：分子分母同乘$4c^2$，得$\frac{3c · 4c^2}{2ab^2 · 4c^2} = \frac{12c^3}{8ab^2c^2}$；
对$-\frac{a}{8bc^2}$变形：分子分母同乘$ab$，得$-\frac{a · ab}{8bc^2 · ab} = -\frac{a^2b}{8ab^2c^2}$。
(2) 第一步，先因式分解分母：$4m^2 - 9 = (2m+3)(2m-3)$，确定最简公分母为$4m^2 - 9$：
第一个分式$\frac{2mn}{4m^2 -9}$的分母已经是最简公分母，无需变形；
对$\frac{2m -3}{2m +3}$变形：分子分母同乘$(2m-3)$，得$\frac{(2m-3)(2m-3)}{(2m+3)(2m-3)} = \frac{(2m-3)^2}{4m^2 -9}$。
【答案】
(1) $\frac{12c^3}{8ab^2c^2}$，$-\frac{a^2b}{8ab^2c^2}$；(2) $\frac{2mn}{4m^2-9}$，$\frac{(2m-3)^2}{4m^2-9}$
【知识点】
通分，分式的基本性质，因式分解
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题关键是准确找出最简公分母，遇到含多项式的分母需先因式分解再确定公分母，熟练掌握通分是后续学习分式加减运算的重要基础。
【难度系数】
0.8

【分析】
解决分式化简求值类问题，遵循“先化简，后代值”的原则能大幅降低计算量。首先观察分式结构：分子$x^2-y^2$是平方差形式，可利用平方差公式分解因式；分母$x^2-2xy+y^2$是完全平方差形式，可利用完全平方公式分解因式。再根据分式的基本性质，约去分子分母的公因式$x-y$（本题$x=5≠ y=-10$，公因式不为0，满足约分条件），得到最简分式后，代入$x$、$y$的取值计算即可。
【解析】
第一步：对分子分母因式分解
原式$=\dfrac{(x+y)(x-y)}{(x-y)^2}$
第二步：约分，化简为最简分式
原式$=\dfrac{x+y}{x-y}$（$x≠ y$）
第三步：代入$x=5$，$y=-10$计算
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{5+(-10)}{5-(-10)}\\&=\dfrac{-5}{15}\\&=-\dfrac{1}{3}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
因式分解，分式约分，分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础常规题，重点考查平方差、完全平方因式分解公式的应用，以及分式基本性质的使用，解题时需注意约分的前提是公因式不为0，代值运算时要注意符号的准确性。
【难度系数】
0.8

【分析】
已知$x+\frac{1}{x}=3$，直接求解$x$再代入计算会比较繁琐。观察所求分式$\frac{x^2}{x^4 + x^2 +1}$，分母是四次多项式，分子是二次多项式，且$x≠0$（否则已知式$x+\frac{1}{x}$无意义），因此可以利用分式的基本性质，将分子分母同时除以$x^2$，把所求分式转化为含有$x+\frac{1}{x}$的形式，再代入已知条件计算即可。
【解析】
解：$\because x+\frac{1}{x}=3$有意义，$\therefore x≠0$。
将$\frac{x^2}{x^4 + x^2 +1}$的分子、分母同时除以$x^2$，得：
$\frac{x^2÷ x^2}{(x^4 + x^2 +1)÷ x^2}=\frac{1}{x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}}$
根据完全平方公式变形可得：
$x^2 + \frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 - 2· x· \frac{1}{x}=(x+\frac{1}{x})^2 -2$
把$x+\frac{1}{x}=3$代入上式，得：
$x^2+\frac{1}{x^2}=3^2 -2=9-2=7$
$\therefore$原式$=\frac{1}{7+1}=\frac{1}{8}$
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
1.分式的基本性质 2.完全平方公式 3.分式化简求值
【点评】
本题是分式求值的典型题型，通过对所求分式同除降次的处理，将未知式子转化为含有已知条件的形式，避免了直接求解未知数的复杂运算，熟练掌握分式性质和完全平方公式的变形是解题的关键。
【难度系数】
0.7

【分析】
遇到连等的比例式求分式值的问题，常用参数法求解：先设这个相等的比值为不为0的参数k，即可将x、y、z都用含k的代数式表示，再代入待求分式中，因为k≠0，分子分母的公因式可直接约去，无需计算k的具体值就能得到结果。
【解析】
设$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}=k(k≠0)$，则：
$x=3k$，$y=4k$，$z=6k$
将上述表达式代入待求分式：
分子：$xy+yz+xz=3k·4k + 4k·6k + 3k·6k=12k^2+24k^2+18k^2=54k^2$
分母：$x^2+y^2+z^2=(3k)^2+(4k)^2+(6k)^2=9k^2+16k^2+36k^2=61k^2$
因为$k≠0$，可约去分子分母的公因式$k^2$，得：
$\frac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2}=\frac{54k^2}{61k^2}=\frac{54}{61}$
【答案】
$\frac{54}{61}$
【知识点】
1.分式的基本性质 2.比例的性质 3.代数式求值
【点评】
本题是分式求值的典型基础题型，核心方法为设参数法，将多个未知量统一用同一参数表示，代入后通过约分即可得到结果，计算时需注意整式乘方、乘法的运算规则，避免运算错误。
【难度系数】
0.7