【分析】
要确定分式有意义时x的取值范围，需依据分式有意义的判定规则思考：分式的分母不能为0，否则分式无意义。解题时先找到给定分式的分母，再令分母不等于0列出不等式，最后解不等式即可得到x的取值范围，对应选项选出答案。
【解析】
根据分式有意义的条件：分式的分母不为0。
本题中分式$\frac{1}{x-1}$的分母为$x-1$，因此列不等式：
$x-1 ≠ 0$
解得$x ≠ 1$，对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
分式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题是分式章节的基础常考题型，核心考查分式有意义的判定规则，解题思路直接，掌握基础知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9

【分析】
解决本题首先要回忆科学记数法表示小于1的正数的规则：形式为$a × 10^{-n}$，其中需满足$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数。解题时第一步先根据$a$的取值范围排除不符合要求的选项，第二步再确定指数$n$的数值即可选出正确答案。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的标准形式为$a × 10^{-n}$（$1 ≤ a ＜ 10$，$n$是正整数）。
1. 确定$a$的值：将$0.00608$的小数点向右移动，直到得到的数满足大于等于1且小于10，可得$a=6.08$，据此可直接排除C、D选项（二者的$a=0.608＜1$，不符合规范）。
2. 确定$n$的值：上述操作中小数点一共向右移动了3位，因此$n=3$，即$0.00608 = 6.08 × 10^{-3}$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法表示较小数的应用，解题核心是牢记科学记数法的形式要求，准确判断$a$的取值和$n$的数值，属于基础类题型，掌握规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.8

【分析】
这是一道分式方程求解的题目，解题有两种常用思路：一是常规解法，先根据分式有意义的条件（分母不为0）排除使分母为0的错误选项，再通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验所得解是否为原方程的根；二是代入排除法，将各选项依次代入原方程验证左右两边是否相等，同时排除使分式无意义的选项。
【解析】
解法1：常规解法
要使分式有意义，则分母不为0，即$x-1≠0$且$x-2≠0$，解得$x≠1$且$x≠2$，因此直接排除选项A、B。
方程两边同时乘最简公分母$(x-1)(x-2)$，去分母得：
$x-2=2(x-1)$
展开括号：$x-2=2x-2$
移项合并同类项：$-x=0$，解得$x=0$
检验：将$x=0$代入原方程，左边$=\frac{1}{0-1}=-1$，右边$=\frac{2}{0-2}=-1$，左边=右边，且分母均不为0，故$x=0$是原方程的解。
解法2：代入验证法
选项A：$x=1$时，原方程左边分母为0，无意义，排除；
选项B：$x=2$时，原方程右边分母为0，无意义，排除；
选项C：$x=0$时，左边$=\frac{1}{0-1}=-1$，右边$=\frac{2}{0-2}=-1$，左右两边相等，符合要求；
选项D：$x=-1$时，左边$=\frac{1}{-1-1}=-\frac{1}{2}$，右边$=\frac{2}{-1-2}=-\frac{2}{3}$，左右两边不相等，排除。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件、分式方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过常规分式方程求解步骤解答，也可通过代入排除法快速锁定答案，解题时需注意分式方程必须验根，避免增根干扰判断。
【难度系数】
0.8

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否为增根。首先观察本题的两个分母：$x-2$和$2-x$，二者互为相反数，可先将第二个分式的分母转化为$x-2$的形式统一分母，再乘以最简公分母去分母得到整式方程，解整式方程后代入分母检验，若分母不为0则为原方程的解，若分母为0则是增根需舍去。
【解析】
解：原方程可变形为：
$\frac{2}{x-2} - \frac{3x}{x-2} = 1$
方程两边同时乘以最简公分母$x-2$（$x≠2$），去分母得：
$2 - 3x = x - 2$
移项，得：
$-3x - x = -2 - 2$
合并同类项，得：
$-4x = -4$
系数化为1，得：
$x=1$
检验：将$x=1$代入$x-2$，得$1-2=-1≠0$，因此$x=1$是原分式方程的解。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题关键是先对互为相反数的分母进行变形统一，去分母时注意不要漏乘等号右侧的常数项，最后务必检验解是否使原分式的分母为0，避免误选增根对应的选项。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题时需对每个选项逐一分析：先观察分子、分母的系数是否有公因数，再对分子、分母进行因式分解，判断是否含有相同的因式，若不存在公因式即为最简分式。
【解析】
根据最简分式的定义逐一判断：
A. $\frac{4}{2x}$的分子分母有公因数2，约分可得$\frac{4}{2x}=\frac{2}{x}$，不是最简分式；
B. 分母$x^2-1$可利用平方差公式分解为$(x-1)(x+1)$，则$\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x+1}$，分子分母有公因式$x-1$，不是最简分式；
C. 分子为$2x$，分母$x^2+1$无法因式分解，二者没有公因式，不能约分，属于最简分式；
D. 分子$1-x=-(x-1)$，则$\frac{1-x}{x-1}=\frac{-(x-1)}{x-1}=-1$，分子分母有公因式$x-1$，不是最简分式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
最简分式的定义，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式部分的基础题型，核心考查最简分式的判断方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确找出分子分母的公因式，牢记约分后无公因式的分式才是最简分式。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题属于比例实际应用类问题，解题思路可分为三步：首先要统一单位，将题干中粟的计量单位“斗”换算为“升”，和兑换比例的单位保持一致；其次判断粟和粝米的兑换属于正比例关系，即兑换时粟的数量与粝米的数量的比值是固定值；最后根据已知的兑换比例列比例式求解即可。
【解析】
第一步，单位换算：已知1斗=10升，因此3斗粟的升数为$3×10=30$升。
第二步，设30升粟可以换得的粝米为$x$升，根据“50单位粟换30单位粝米”的比例关系，列比例式：
$\frac{50}{30}=\frac{30}{x}$
第三步，求解方程：
交叉相乘得：$50x=30×30$
计算得：$50x=900$
解得：$x=18$
即3斗粟可以换得18升粝米。
【答案】
D
【知识点】
比例的应用，单位换算，正比例关系
【点评】
本题以中国古代数学典籍《九章算术》的内容为背景，考查比例的实际应用，解题时要先统一单位，再根据正比例关系列等式计算，注意不要混淆两种粮食的兑换对应关系。
【难度系数】
0.8

【分析】
这道题考查分式的变形运算，解题时把已知的$f$、$v$看作常数，将原式看作关于$u$的分式方程，按移项、通分、取倒数的步骤推导即可，过程中要注意通分规则和符号的处理。
【解析】
已知成像公式$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$（$v≠f$），求解$u$的步骤如下：
1. 移项：将含$\frac{1}{v}$的项移到等号左侧，得$\frac{1}{u}=\frac{1}{f}-\frac{1}{v}$
2. 通分计算：右侧两项的最简公分母为$fv$，通分后计算得$\frac{1}{u}=\frac{v}{fv}-\frac{f}{fv}=\frac{v-f}{fv}$
3. 取倒数：因为$v≠f$，所以$v-f≠0$，等式两边同时取倒数，得$u=\frac{fv}{v-f}$
【答案】
C
【知识点】
分式运算；公式变形；倒数的性质
【点评】
本题结合照相机成像的物理场景考查分式的变形应用，解题的关键是熟练掌握分式的通分加减运算，注意运算过程中符号的处理，避免因符号错误选错选项。
【难度系数】
0.7

【分析】
这是一道分式方程的实际应用题，解题时先梳理题干中的数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。题干给出的关键等量关系为“改造后生产600台的时间=改造前生产400台的时间”，我们可以设改造后每天生产x台机器，那么改造前每天生产（x-50）台，将两者的生产时间用含x的式子表示后，根据等量关系列分式方程，求解后检验解是否符合实际意义即可。
【解析】
解：设改造后每天生产x台机器，则改造前每天生产$(x-50)$台机器。
根据改造后生产600台与改造前生产400台时间相同，可列方程：
$\frac{600}{x}=\frac{400}{x-50}$
交叉相乘去分母得：$600(x-50)=400x$
展开得：$600x - 30000 = 400x$
移项、合并同类项得：$200x=30000$
解得：$x=150$
检验：当$x=150$时，$x(x-50)=150×100=15000≠0$，所以$x=150$是原分式方程的解，且符合实际生产的意义。
因此改造后每天生产150台机器。
【答案】
B
【知识点】
1.分式方程的应用
2.分式方程的求解
【点评】
本题是典型的工程类分式方程应用题，解题的关键是准确抓住时间相等的等量关系列方程，求解后注意要检验分式方程的根是否有效、是否符合实际情况。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：首先将分式方程去分母转化为整式方程，用含a的代数式表示出方程的解x；其次根据“解为非负数”的条件，列出关于a的不等式，求出a的初步范围；最后注意分式方程的分母不能为0，也就是解不能等于增根x=2，由此排除不符合条件的a的取值，最终得到a的完整取值范围。
【解析】
首先对分式方程去分母，两边同时乘以最简公分母$2(x-2)$（注意$x≠2$，否则分式无意义）：
$2(2x - a) = x - 2$
展开并整理整式方程：
$4x - 2a = x - 2$
移项得：$4x - x = 2a - 2$
合并同类项得：$3x = 2a - 2$
解得：$x = \frac{2a - 2}{3}$
第一步，根据方程的解为非负数，可得：
$\frac{2a - 2}{3} ≥ 0$
两边同乘3得：$2a - 2 ≥ 0$
解得：$a ≥ 1$
第二步，根据分式分母不为0，即$x≠2$，可得：
$\frac{2a - 2}{3} ≠ 2$
两边同乘3得：$2a - 2 ≠ 6$
解得：$a ≠ 4$
综上，a的取值范围是$a≥1$且$a≠4$。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解；一元一次不等式的应用；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的常规题型，解题的易错点是容易忽略分式分母不为0的限制，漏掉$a≠4$的条件，求解此类问题时要注意检验解是否会使原分式方程的分母为0。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先要准确理解新定义运算“⊗”的规则，先将方程左侧的$x\otimes (-2)$转化为普通分式表达式，把原方程转化为熟悉的分式方程；再按照解分式方程的步骤去分母、解整式方程，最后检验根是否满足分母不为0的要求，排除增根后就能得到正确解。
【解析】
根据新运算规则$a\otimes b=\frac{1}{a - b^2}$，代入$a=x$、$b=-2$可得：
$x\otimes (-2)=\frac{1}{x - (-2)^2}=\frac{1}{x - 4}$
将其代入原方程得：
$\frac{1}{x - 4}=\frac{2}{x - 4}-1$
由分母不为0可知$x\ne4$，方程两边同时乘$(x-4)$去分母得：
$1=2-(x-4)$
去括号：$1=2-x+4$
合并同类项：$1=6-x$
移项解得：$x=5$
检验：当$x=5$时，$x-4=1\ne0$，所以$x=5$是原方程的解。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，解分式方程
【点评】
本题属于新定义类基础题，关键是正确转化新运算为常规方程，求解分式方程时切记要验根，避免把增根当作方程的解。
【难度系数】
0.7