【分析】
要判断分式有意义时x的取值，首先回忆分式的性质：分式有意义的核心要求是分母不能为0。解题思路如下：第一步先定位该分式的分母，第二步令分母不等于0列出不等式，第三步解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
解：根据分式有意义的条件：分母不为0，可得：
本题中分式的分母为$3x-1$，因此列不等式：
$3x - 1 ≠ 0$
移项得：$3x ≠ 1$
两边同时除以3得：$x ≠ \frac{1}{3}$
即当$x ≠ \frac{1}{3}$时，分式$\frac{x+1}{3x-1}$有意义。
【答案】
$≠\frac{1}{3}$
【知识点】
分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对分式有意义判定规则的掌握，解题时只要抓住“分母不为0”的要求列式计算即可。
【难度系数】
0.9

【分析】
解决分式除法运算题，首先回忆分式除法的运算法则：除以一个不为0的分式，等于乘以这个分式的倒数。解题时先将除法转化为乘法，再找出分子分母的公因式进行约分，最后整理化简得到结果即可。
【解析】
根据分式除法的运算法则，将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\dfrac{n+1}{n} ÷ \dfrac{m+1}{mn}&=\dfrac{n+1}{n} × \dfrac{mn}{m+1}\\&=\dfrac{(n+1)· mn}{n· (m+1)}\\&\mathrm{约去分子分母的公因式}n：\\&=\dfrac{m(n+1)}{m+1}\\&\mathrm{展开分子得：}\\&=\dfrac{mn+m}{m+1}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{mn+m}{m+1}$
【知识点】
分式乘除运算，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查分式除法的运算规则，计算时先将除法转化为乘法，再通过约分化简得到结果，运算过程中注意识别公因式，避免计算错误。
【难度系数】
0.8

【分析】
看到含有两个字母的二次多项式与常数的和为0的等式，首先考虑用配方法将式子转化为几个完全平方式的和为0的形式。利用完全平方的非负性，几个非负数相加和为0时，每个非负数都等于0，即可求出a、b的值，最后代入计算$a^b$即可。解题第一步需要将常数5拆分为4和1，分别与含a、含b的项搭配构成完全平方。
【解析】
先对原式进行配方：
将5拆为4+1，原式变形为：
$a^2 -4a +4 + b^2 +2b +1 = 0$
根据完全平方公式可得：
$(a-2)^2 + (b+1)^2 = 0$
∵ 平方数具有非负性，即$(a-2)^2≥0$，$(b+1)^2≥0$
∴ 要使两个非负数的和为0，需满足：
$\begin{cases}a-2=0 \\ b+1=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=2 \\ b=-1\end{cases}$
将a、b的值代入$a^b$得：
$a^b=2^{-1}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 非负数的性质
3. 负整数指数幂
【点评】
本题是代数运算的基础常考题，核心考查配方法的应用，解题的关键是合理拆分常数项完成配方，结合非负数的性质求出未知字母的值，计算时注意负整数指数幂的运算规则。
【难度系数】
0.7

【分析】要化简分式，核心思路是先对分子、分母分别因式分解，找到公因式后，利用分式的基本性质约去不为0的公因式即可。第一步先观察分子$x^3 - 2x^2 y$，两项均含公因式$x^2$，提取公因式即可完成分解；第二步观察分母$x^2 y - 2x y^2$，两项均含公因式$xy$，提取公因式即可完成分解；第三步结合分式有意义的条件，确认公因式不为0，就可以约去公因式得到最简结果。
【解析】
解：先对分子、分母分别提公因式因式分解：
分子：$x^3 - 2x^2 y = x^2(x - 2y)$
分母：$x^2 y - 2x y^2 = xy(x - 2y)$
由分式有意义的条件可知$xy(x-2y) ≠ 0$，即$x ≠ 0$、$y ≠ 0$、$x-2y ≠ 0$，因此可约去公因式$x(x-2y)$：
$\frac{x^3 - 2x^2 y}{x^2 y - 2x y^2} = \frac{x^2(x - 2y)}{xy(x - 2y)} = \frac{x}{y}$
【答案】$\frac{x}{y}$
【知识点】提公因式法因式分解；分式的基本性质；分式约分
【点评】本题属于分式化简的基础题型，解题的关键是准确提取分子分母的公因式，要注意约分的前提是所约去的因式不为0，避免出现无意义的运算。
【难度系数】0.8

【分析】
解题时可按以下思路推导：①先利用分式分母的互为相反数关系，化简原分式方程；②将x=m代入化简后的方程，整理得到m与a的数量关系；③观察待求代数式的结构，用完全平方公式因式分解，最后整体代入求值即可，无需单独计算a和m的具体数值。
【解析】
首先化简原分式方程：
原方程$\frac{2}{x-a}+\frac{3a}{a-x}=1$中，$a-x=-(x-a)$，因此方程可变形为：
$\frac{2}{x-a}-\frac{3a}{x-a}=1$
合并同分母分式得：$\frac{2-3a}{x-a}=1$
因为$x=m$是方程的解，将$x=m$代入上式，且分母$m-a≠0$，两边同乘$m-a$得：
$2-3a = m - a$
移项整理得：$m + 2a = 2$
观察待求代数式$4a^2 +4am +m^2$，由完全平方公式可得：
$4a^2 +4am +m^2=(2a + m)^2$
将$2a + m=2$代入得：$2^2=4$
【答案】
4
【知识点】
分式方程的解；完全平方公式；分式化简
【点评】
本题将分式方程的解和整式因式分解结合考查，核心是通过代入方程的解得到a与m的和差关系，再利用整体代入的思想求值，减少了不必要的计算量。
【难度系数】
0.7

【分析】
这是一道考查分式方程解的取值范围的题目，解题思路分为三步：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出x；第二步根据“解为正数”列出关于m的不等式，求出m的初步范围；第三步需要注意分式方程分母不能为0，也就是解不能让原方程的分母等于0（即排除增根的情况），得到m的额外限制条件，综合两个条件就能得到最终m的取值范围。
【解析】
解：对原分式方程去分母，两边同时乘以最简公分母$x-1$，注意$1-x=-(x-1)$，可得：
$x - 3(x - 1) = -m$
展开并整理方程：
$x - 3x + 3 = -m$
$-2x = -m - 3$
系数化为1，得：$x = \frac{m + 3}{2}$
∵ 原分式方程的解为正数
∴ $x ＞ 0$，即$\frac{m + 3}{2} ＞ 0$，解得$m ＞ -3$
又
∵ 分式方程的分母不能为0，即$x - 1 ≠ 0$，也就是$x ≠ 1$
∴ $\frac{m + 3}{2} ≠ 1$，解得$m ≠ -1$
综上，m的取值范围是$m ＞ -3$且$m ≠ -1$
【答案】
$m＞-3$且$m≠-1$
【知识点】
分式方程的解，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程的常见考法，解题时要注意两个核心条件：一是方程的解满足题目给定的正负要求，二是解不能使原分式的分母为0，很容易遗漏后者导致答案不完整，做完后要记得检验增根情况。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题包含三道基础运算题，解题思路如下：
(1) 第一小题考察实数的混合运算，先分别根据零指数幂、平方运算、负整数指数幂的运算法则计算每一项的值，再按从左到右的顺序计算加减即可。
(2) 第二小题考察分式的乘方与除法混合运算，先依据分式乘方法则分别计算两个分式的平方，再将除法转化为乘法，最后约分得到最简结果即可。
(3) 第三小题考察异分母分式的加法运算，先对第一个分式的分母因式分解，确定最简公分母，再将两个分式通分为同分母分式，按照同分母分式加法法则计算后约分化为最简即可。
【解析】
(1) 计算过程：
根据运算法则得：$2025^0=1$，$2^2=4$，$(\frac{1}{3})^{-1}=3$
原式$=1 - 4 + 3 = 0$
(2) 计算过程：
先计算乘方：
$(\frac{y}{6x^2})^2=\frac{y^2}{36x^4}$，$(-\frac{y^2}{4x})^2=\frac{y^4}{16x^2}$
将除法转化为乘法：
原式$=\frac{y^2}{36x^4} ÷ \frac{y^4}{16x^2} = \frac{y^2}{36x^4} × \frac{16x^2}{y^4}$
约分后得：原式$=\frac{4}{9x^2 y^2}$
(3) 计算过程：
先因式分解分母：$x^2 -9=(x+3)(x-3)$，最简公分母为$(x+3)(x-3)$
通分得：
原式$=\frac{6}{(x+3)(x-3)} + \frac{x-3}{(x+3)(x-3)}$
同分母分式相加，分母不变，分子相加：
原式$=\frac{6 + x - 3}{(x+3)(x-3)}=\frac{x+3}{(x+3)(x-3)}$
约去公因式$x+3$（$x≠\pm3$）得：原式$=\frac{1}{x-3}$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{\dfrac{4}{9x^2 y^2}}$；(3) $\boxed{\dfrac{1}{x-3}}$
【知识点】
幂的运算、分式乘除运算、分式加减运算
【点评】
本题是运算类基础题，核心考察幂的运算法则和分式的四则运算法则，解题时需注意运算顺序，分式运算的最终结果要化为最简形式，是各类考试中常见的基础得分题型。
【难度系数】
0.85

【分析】
本题属于分式的混合运算类题目，解题思路遵循分式运算的优先级：1.先计算括号内的减法运算，将1通分为与括号内分式同分母的形式，计算出括号内的化简结果；2.将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以它的倒数）；3.对分子、分母中能因式分解的多项式先因式分解，再约掉分子分母的公因式，最终得到最简结果。
【解析】
解：
第一步，先化简括号内的式子：
$1-\dfrac{1}{m+1}=\dfrac{m+1}{m+1}-\dfrac{1}{m+1}=\dfrac{(m+1)-1}{m+1}=\dfrac{m}{m+1}$
第二步，对被除数的分母因式分解：
由完全平方公式可得$m^2+2m+1=(m+1)^2$，因此被除数可写为$\dfrac{m^2}{(m+1)^2}$
第三步，将除法转为乘法并约分：
原式$=\dfrac{m^2}{(m+1)^2}÷\dfrac{m}{m+1}=\dfrac{m^2}{(m+1)^2}×\dfrac{m+1}{m}=\dfrac{m}{m+1}$
【答案】
$\dfrac{m}{m+1}$
【知识点】
分式的混合运算、完全平方公式因式分解、分式的基本性质
【点评】
本题是分式化简的常规基础题型，重点考察分式运算的顺序、通分约分的规则以及因式分解的应用，计算时注意先处理括号内的运算，除法转乘法时要正确写出除数的倒数，约分要彻底，避免运算顺序错误或公因式漏约导致失分。
【难度系数】
0.8

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，步骤为：①确定最简公分母，互为相反数的分母可变形统一（如$4-x=-(x-4)$），能因式分解的分母先分解因式；②方程两边同乘最简公分母去分母，每一项都要乘，注意符号变化；③解得到的整式方程；④必须检验：将整式方程的解代入最简公分母，若公分母为0则是增根，原方程无解，若公分母不为0则是原方程的解。
(1)题两个分母为$x-4$和$4-x$，最简公分母为$x-4$，去分母时注意第二个分式的符号变化；(2)题先分解$x^2-4=(x+2)(x-2)$，得最简公分母为$(x+2)(x-2)$，再去分母求解。
【解析】
(1) 先将方程变形为：$\frac{3-x}{x-4} + \frac{1}{x-4}=1$
方程两边同乘最简公分母$x-4$，去分母得：
$3-x + 1 = x-4$
移项合并同类项得：$-2x = -8$
系数化为1得：$x=4$
检验：当$x=4$时，最简公分母$x-4=0$，因此$x=4$是增根，
$\therefore$ 原分式方程无解。
(2) 先分解分母得：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$
方程两边同乘$(x+2)(x-2)$，去分母得：
$3(x+2) - 8 = x-2$
展开左边得：$3x +6 -8 =x-2$
整理得：$3x -2 =x -2$
移项合并同类项得：$2x=0$
系数化为1得：$x=0$
检验：当$x=0$时，最简公分母$(x+2)(x-2)= (0+2)×(0-2)=-4≠0$，
$\therefore x=0$是原分式方程的解。
【答案】
(1) 分式方程无解；(2) $x=0$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根，因式分解
【点评】
本题属于分式方程求解的基础题型，解题的关键是准确确定最简公分母，去分母时注意不要漏乘项、不要搞错符号，尤其要牢记解分式方程必须检验，排除增根。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题属于生产类实际应用题，解题核心是抓住题干中“时间相同”的等量关系。首先设所求的现在平均每天生产机器的数量为未知数x，结合“现在每天比原计划多生产40台”可表示出原计划每天生产的数量；再根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，分别表示出现在生产720台的时间和原计划生产480台的时间，令两者相等即可列出分式方程；最后解方程并验根，确认结果符合实际意义即可。
【解析】
解：设现在平均每天生产$x$台机器，则原计划平均每天可生产$(x-40)$台。
依题意，现在生产720台机器的时间与原计划生产480台机器的时间相同，列方程得：
$\frac{720}{x}=\frac{480}{x-40}$
去分母得：$720(x-40)=480x$
展开整理得：$720x-28800=480x$
移项合并同类项得：$240x=28800$
解得：$x=120$
检验：当$x=120$时，$x(x-40)=120×80=9600≠0$，因此$x=120$是原分式方程的解，且符合实际生产的意义。
答：现在平均每天生产120台机器。
【答案】
120台
【知识点】
分式方程的应用、分式方程求解、分式方程验根
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题关键是准确提取题干中的等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须检验根的合理性，既要排除增根，也要确认结果符合实际场景。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题是分式化简求值题，解题思路分三步：第一步先处理括号内的运算，将整式部分通分转化为同分母分式进行减法运算；第二步将除法运算转化为乘法运算，对分子分母因式分解后约分，得到最简结果；第三步根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）排除不合适的a的取值，选择合法的数值代入最简式计算结果。
【解析】
解：先化简原式：
1. 通分计算括号内的部分：
$(\dfrac{3}{a+1} - a + 1 ) = \dfrac{3}{a+1} - \dfrac{(a-1)(a+1)}{a+1} = \dfrac{3 - (a^2 - 1)}{a+1} = \dfrac{4 - a^2}{a+1} = \dfrac{-(a^2 - 4)}{a+1} = \dfrac{-(a+2)(a-2)}{a+1}$
2. 将除法转化为乘法，同时对除式的分母因式分解：
原式$= \dfrac{-(a+2)(a-2)}{a+1} ÷ \dfrac{(a-2)^2}{a+1} = \dfrac{-(a+2)(a-2)}{a+1} × \dfrac{a+1}{(a-2)^2}$
3. 约分得到最简式：
约去公因式$a+1$和$a-2$，得原式$= -\dfrac{a+2}{a-2} = \dfrac{a+2}{2-a}$
4. 确定a的合法取值：
要使分式有意义，则分母不为0，除数不为0，即：
$a+1 ≠ 0$，$a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2 ≠ 0$，解得$a ≠ -1$，$a ≠ 2$
因此只能选$a=0$代入最简式：
当$a=0$时，原式$= \dfrac{0+2}{2-0} = 1$
【答案】
化简结果为$\dfrac{a+2}{2-a}$，代入$a=0$得值为1
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题重点考查分式化简求值的基本方法，解题的易错点是忽略分式有意义的条件，误选$a=-1$或$a=2$代入计算，另外通分、因式分解过程中要注意符号的处理，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7