【分析】
(1) 要证明$c-d＜0$，可先将$m=\frac{1}{2}$、$a=b$的条件分别代入$c$和$d$的表达式，再计算$c-d$的差，通过化简差的结果，结合$ab≠0$即$a≠0$的条件判断差的正负即可完成证明。
(2) 首先根据$ad=bc$列等式，将$c$、$d$的表达式代入后整理，因为$\frac{b}{a}$是与$a$无关的定值，可设$k=\frac{b}{a}$即$b=ka$代入整理后的等式，要使等式对任意非零$a$都成立，含$a$项的系数和常数项需同时为0，即可求解$m$的值。
【解析】
(1) 证明：当$m=\frac{1}{2}$，$a=b$时，
代入$c$的表达式得：$c=\frac{1}{2}a^2 - 6×\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}a^2 -3a$，
代入$d$的表达式得：$d=a^2 -3a$，
则$c-d=\frac{1}{2}a^2 -3a -(a^2 -3a)=-\frac{1}{2}a^2$，
$\because ab≠0$，$\therefore a≠0$，即$a^2＞0$，
$\therefore -\frac{1}{2}a^2＜0$，即$c-d＜0$，得证。
(2) 解：$\because ad=bc$，将$c=ma^2 -6ma$，$d=b^2 -3b$代入得：
$a(b^2 -3b)=b(ma^2 -6ma)$，
$\because ab≠0$，$\therefore a≠0$，$b≠0$，等式两边同时除以$ab$化简得：
$b-3=ma-6m$，移项得$b=ma -6m +3$，
设$k=\frac{b}{a}$（$k$为与$a$无关的定值），则$b=ka$，代入上式得：
$ka=ma -6m +3$，整理得$(k-m)a +(6m -3)=0$，
$\because$该式对任意非零$a$均成立，$\therefore$含$a$项的系数和常数项均为0，
即$6m -3=0$，解得$m=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{m=\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
整式化简运算、等式的性质、定值问题处理
【点评】
本题分为两小问，第一问属于基础题型，侧重考察代数式代入化简的能力；第二问需掌握“与变量无关则对应项系数为0”的解题思路，能有效考察等式变形和逻辑推导能力，整体考察内容贴合基础要求。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 第一小问直接运用多项式乘多项式的法则展开，合并同类项即可得到结果，前两个也可直接用平方差、立方差公式快速得出；
(2) 观察第(1)问的三组运算结果，左边第一个因式均为$(a-b)$，第二个因式的最高次分别为1、2、3次，对应的结果是$a$的2、3、4次方减$b$的同次方，据此归纳一般规律即可；
(3) 所求式子正负交替，和猜想结论的式子符号特征不同，可将$b$替换为$-1$，先设原式为$S$，给$S$减1后得到的式子刚好符合猜想中第二个因式的形式，此时$a=2$、$b=-1$，乘上$(2-(-1))=3$即可套用猜想公式，最后除以3还原，算出$S-1$的值后即可得到$S$的结果。
【解析】
(1) 分别计算：
① $(a-b)(a+b)=a^2 - b^2$；
② $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2 -a^2b -ab^2 -b^3=a^3 - b^3$；
③ $(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)=a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3 -a^3b -a^2b^2 -ab^3 -b^4=a^4 - b^4$；
(2) 观察规律可得，左边第二个因式共$n$项、最高次为$n-1$，相乘后结果最高次为$n$，故猜想结果为$a^n - b^n$；
(3) 令$S=2^9 - 2^8 + 2^7 - \dots + 2^3 - 2^2 + 2$，
则$S-1=2^9 - 2^8 + 2^7 - \dots + 2^3 - 2^2 + 2 - 1$，
根据(2)的结论，取$a=2$、$b=-1$、$n=10$，可得：
$(2 - (-1))×(2^9 + 2^8×(-1) + 2^7×(-1)^2 + \dots + 2×(-1)^8 + (-1)^9)=2^{10} - (-1)^{10}$
即$3×(2^9 - 2^8 + 2^7 - \dots + 2 - 1)=2^{10} - 1$，
因此$S-1=(2^{10} - 1)÷3=(1024-1)÷3=341$，
解得$S=341+1=342$。
【答案】
(1) $a^2-b^2$，$a^3-b^3$，$a^4-b^4$；
(2) $a^n-b^n$；
(3) $342$
【知识点】
多项式乘多项式，规律归纳探究，整式化简计算
【点评】
本题从基础的多项式乘法运算入手，引导学生经历从特殊到一般的归纳过程，再应用所得规律解决复杂的整式计算问题，既考察了基础运算能力，也考察了数学思想方法的应用，解题的关键是根据式子的符号特征合理变形，套用猜想的结论简化运算。
【难度系数】
0.6

【分析】
要证明△ABC是等腰三角形，只需证明∠ABC=∠ACB（或AB=AC）。已知O在∠BAC的角平分线上，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此考虑过O作AB、AC的垂线，得到两条相等的垂线段；再结合已知∠1=∠2可得OB=OC，即可证明两个直角三角形全等，得到对应角相等，通过角的和的等量代换得到∠ABC=∠ACB，即可完成证明。
【解析】
证明：作$OE⊥AB$于点$E$，$OF⊥AC$于点$F$。
$\because AO$平分$∠BAC$，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，$\therefore OE=OF$。
$\because ∠1=∠2$，根据等角对等边，$\therefore OB=OC$。
在$\mathrm{Rt}△OBE$和$\mathrm{Rt}△OCF$中，$\begin{cases}OE=OF\\OB=OC\end{cases}$，$\therefore \mathrm{Rt}△OBE ≌ \mathrm{Rt}△OCF$（HL）。
根据全等三角形对应角相等，$\therefore ∠5=∠6$。
$\therefore ∠1+∠5=∠2+∠6$，即$∠ABC=∠ACB$。
根据等角对等边，$\therefore AB=AC$，$\therefore △ABC$是等腰三角形。
【答案】
作$OE⊥AB$于点$E$,$OF⊥AC$于点$F$. $\because AO$平分$∠BAC$,$\therefore OE=OF$. $\because ∠1=∠2$,$\therefore OB=OC$, $\therefore \mathrm{Rt }△OBE ≌ \mathrm{Rt }△OCF$（HL）, $\therefore ∠5=∠6$. $\therefore ∠1+∠5=∠2+∠6$,即$∠ABC=∠ACB$. $\therefore AB=AC$,$\therefore △ABC$是等腰三角形.
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；等腰三角形判定
【点评】
这道题是典型的几何综合证明题，需要结合角平分线、全等三角形、等腰三角形的相关性质与判定解题，合理构造辅助线是解题的突破口，能有效考查学生对几何基础知识的掌握和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
23题解题思路
(1) 已知提价后的售价和提价百分率，原价=提价后售价÷(1+提价百分率)，直接代入计算即可。
(2) 本题为分式方程应用题，核心等量关系是：提价前6元购买的件数 - 提价后6元购买的件数=1，设原价为未知数，用含未知数的式子表示两次购买的件数，列方程求解后注意检验解是否符合实际。
(3) 要比较两个商场提价幅度，先分别表示出两次提价后两商场的售价，再用作差法比较两个售价的大小，结合完全平方公式判断差的正负即可得出结论。
24题解题思路
(1) 先将右侧完全平方展开，根据对应项系数相等得到mn=4，任选一组正整数m、n代入即可求出a的值。
(2) 可利用因式的性质：若$x-a$是多项式的因式，则$x=a$代入多项式时值为0，直接代入即可快速求出m；也可用待定系数法设出另一个因式，展开后对应系数相等求解。
(3) 先把分母因式分解为$(x+1)^2(x-1)$，假设拆分后的分式形式，通分后让分子对应系数相等，列方程组求解待定常数即可。
【解析】
23题解答
(1) 原价为：$1.15÷(1+15\%)=1$（元）
(2) 设该商品在乙商场的原价为$x$元，提价20%后单价为$1.2x$元。
根据题意列方程：$\frac{6}{x}-\frac{6}{1.2x}=1$
通分计算得：$\frac{7.2-6}{1.2x}=1$，即$\frac{1.2}{1.2x}=1$，解得$x=1$
检验：$x=1$时，分母$x≠0$，$1.2x≠0$，符合实际。
(3) 设商品原价均为1元：
甲商场两次提价后价格：$(1+a)(1+b)=1+a+b+ab$
乙商场两次提价后价格：$(1+\frac{a+b}{2})^2=1+a+b+(\frac{a+b}{2})^2$
作差比较两个价格的大小：
$(\frac{a+b}{2})^2 - ab=\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab=\frac{a^2-2ab+b^2}{4}=(\frac{a-b}{2})^2$
$\because a＞0,b＞0,a≠ b$，$\therefore (\frac{a-b}{2})^2＞0$，即乙商场提价后价格更高。
24题解答
(1) 展开$(m+n\sqrt{3})^2=m^2+2mn\sqrt{3}+3n^2$，和$a+8\sqrt{3}$对应得$2mn=8$，即$mn=4$。
取$m=2,n=2$，则$a=2^2+3×2^2=16$（取其他正整数解对应$a=49$或$19$也可）。
(2) $\because x-1$是$x^3+mx^2+1$的因式，$\therefore$当$x=1$时，$x^3+mx^2+1=0$
代入得：$1+m+1=0$，解得$m=-2$。
(3) 先分解分母：$(x+1)(x^2-1)=(x+1)^2(x-1)$
设$\frac{8x}{(x+1)^2(x-1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x-1}$
将右侧通分，分子相等得：
$8x=A(x^2-1)+B(x-1)+C(x+1)^2$
整理右侧得：$(A+C)x^2+(B+2C)x+(-A-B+C)$
对应系数相等列方程组：
$\begin{cases}A+C=0\\B+2C=8\\-A-B+C=0\end{cases}$
解得：$A=-2,B=4,C=2$。
【答案】
23. (1) $\boxed{1}$；(2) 该商品在乙商场的原价为$\boxed{1}$元；(3) $\boxed{乙商场}$提价较多。
24. (1) $\boxed{16}$（或49、19，任选其一即可）；(2) $\boxed{m=-2}$；(3) $\boxed{\frac{8x}{(x+1)(x^2-1)}=\frac{-2}{x+1}+\frac{4}{(x+1)^2}+\frac{2}{x-1}}$。
【知识点】
分式方程应用，作差法比较大小，待定系数法
【点评】
题目设置梯度合理，基础题考查课内核心知识点的掌握，拓展题考查对新方法的理解和迁移应用能力，既锻炼计算能力，也考查逻辑推理能力，注重数学方法的灵活运用。
【难度系数】
0.65