答案：1. 两边的距离。
解析：
【分析】
本题考查角平分线的基本性质，解题时先回忆角平分线性质的核心内容：我们在推导角平分线性质时，会在角平分线上任取一点，向角的两条边作垂线段，可验证得出这两条垂线段的长度（即点到角两边的距离）相等，填空时需注意不能遗漏“距离”二字，否则表述不严谨。
【解析】
根据角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，因此横线处应填入“两边的距离”。
【答案】
两边的距离
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对核心定理的记忆与准确表述，只要牢记角平分线的相关性质即可快速正确作答。
【难度系数】
0.9
2. 角的内部到角
两边距离
相等的点在角的平分线上。
答案：2. 两边距离。
解析：
【分析】
解题时先回忆角平分线的相关定理：角平分线的性质是“角平分线上的点到角两边的距离相等”，本题考查的是角平分线性质的逆用，也就是角平分线的判定定理，已知点在角的内部，满足到角的两个边的距离相等的条件，即可推出该点在角的平分线上，由此可确定空缺处的内容。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，因此本题空缺处应填入“两边距离”。
【答案】
两边距离
【知识点】
角平分线的判定定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对核心定理的记忆和理解，只要熟练掌握角平分线判定定理的内容即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 证明命题“角的平分线上的点到角两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程. 下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.
已知:如图，$∠ AOP=∠ BOP$，
$PC⊥OA，PD⊥OB$，垂足分别为$C，D$
.
求证:
$PC=PD$
.
请你补全已知和求证，并写出证明过程.
答案：3. 提示:$PC⊥OA,PD⊥OB$,垂足分别为 C,D; $PC=PD$; 通过AAS证明$△ PDO≌△ PCO$即可。
解析：
【分析】
首先明确命题的条件与结论：条件为点在角的平分线上，且该点向角两边作垂线段（即点到边的距离），结论为两条垂线段长度相等。第一步补全已知：题干已给出点P在∠AOB的角平分线上，需补充点P到两边垂直的条件，即$PC⊥OA$，$PD⊥OB$，垂足分别为C、D；第二步补全求证：对应命题结论，即两条垂线段相等$PC=PD$；第三步证明线段相等，可通过证明线段所在三角形全等实现，△PCO和△PDO中有直角相等、角平分线得到的角相等，还有公共边OP，可用AAS判定全等，再由全等性质得对应边相等即可。
【解析】
补全已知：$PC⊥ OA$，$PD⊥ OB$，垂足分别为$C$、$D$；
补全求证：$PC=PD$。
证明过程：
$\because PC⊥ OA$，$PD⊥ OB$
$\therefore ∠ PCO=∠ PDO=90°$
在$△ PCO$和$△ PDO$中：
$\begin{cases}∠ PCO=∠ PDO \\∠ COP=∠ DOP \\OP=OP\end{cases}$
$\therefore △ PCO≌△ PDO\ (\mathrm{AAS})$
$\therefore PC=PD$（全等三角形的对应边相等）
【答案】
已知补充：$PC⊥ OA$，$PD⊥ OB$，垂足分别为$C$、$D$；
求证：$PC=PD$，证明过程如上。
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线性质定理的基础证明题，核心考查对“点到直线的距离”概念的理解，以及三角形全等判定方法的应用，解题逻辑清晰，是后续运用角平分线性质解决复杂几何问题的基础。
【难度系数】
0.8
问题 如图，点B，C在∠A的两边上，且AB=AC，D为∠A内一点，DB=DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：DE=DF.
名师指导
由已知条件很容易想到连接AD，证明△ACD≌△ABD，从而有∠BAD=∠CAD，于是D是∠BAC平分线上一点，可以用角平分线的性质证得DE=DF.
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
证明：
答案：证明：
连接AD。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\DB=DC\\AD=AD\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ ACD$（SSS）
∴ $∠ BAD = ∠ CAD$，即AD平分$∠ BAC$。
又∵ $DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ $DE = DF$。
解析：
【分析】
要证明DE=DF，观察可得DE、DF分别是点D到∠BAC两边AB、AC的垂线段，根据角平分线的性质，只需证明点D在∠BAC的角平分线上，即证∠BAD=∠CAD。已知AB=AC，DB=DC，连接AD后，AD是△ABD和△ACD的公共边，可通过SSS判定定理证明两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等得到∠BAD=∠CAD，即可推出AD平分∠BAC，最后结合DE⊥AB、DF⊥AC的条件，利用角平分线的性质即可证得DE=DF。
【解析】
证明：
连接AD。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\DB=DC\\AD=AD\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ ACD$（SSS）
∴ $∠ BAD = ∠ CAD$，即AD平分$∠ BAC$。
又
∵ $DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ $DE = DF$。
【答案】
DE=DF
【知识点】
全等三角形的SSS判定；全等三角形的性质；角平分线的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，将待证的线段相等问题转化为角相等的证明，既考查了全等三角形的判定与性质，也考查了角平分线性质的应用，是角平分线相关应用的典型题型。
【难度系数】
0.8
