【分析】
要判断BF和CG是否相等，可通过证明二者所在的直角三角形全等来推导。首先观察到BF在$Rt△ BEF$中，CG在$Rt△ CEG$中，若能证明这两个直角三角形全等即可得到结论。要证这组全等，已有直角相等，还需要两组对应边相等：①由AE是$∠ BAC$的平分线，结合$EF⊥ AB$、$EG⊥ AC$，利用角平分线的性质可得$EF=EG$；②要得到斜边$BE=CE$，可利用D是BC中点、$DE⊥ BC$的条件，证明$△ BDE$和$△ CDE$全等得到$BE=CE$，最后用HL定理证明两个直角三角形全等即可推出结论。
【解析】
解：$BF=CG$，理由如下：
1. 连接$BE$、$CE$。
$\because$ D是BC边的中点，$\therefore BD=CD$，
$\because DE⊥ BC$，$\therefore ∠ BDE=∠ CDE=90°$，
在$△ BDE$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}BD=CD \\∠ BDE=∠ CDE \\DE=DE\end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CDE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore EB=EC$。
2. $\because AE$平分$∠ BAC$，$EF⊥ AB$，$EG⊥ AC$的延长线，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
$\therefore EF=EG$。
3. $\because EF⊥ AB$，$EG⊥ AG$，$\therefore ∠ EFB=∠ EGC=90°$，
在$Rt△ BEF$和$Rt△ CEG$中：
$\begin{cases}EB=EC \\EF=EG\end{cases}$
$\therefore Rt△ BEF≌Rt△ CEG(\mathrm{HL})$，
$\therefore BF=CG$。
【答案】
$BF=CG$，证明：连接$BE$，$CE$，先证$△ BDE≌△ CDE(\mathrm{SAS})$，$\therefore EB=EC$；$\because AE$平分$∠ BAC$，$EF⊥ AB$，$EG⊥ AC$，$\therefore EF=EG$；再证$\mathrm{Rt}△ BEF≌\mathrm{Rt}△ CEG(\mathrm{HL})$，$\therefore BF=CG$。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是典型的线段相等证明题，解题关键是合理构造辅助线，将待证线段转化到两个直角三角形中，再结合角平分线性质、全等判定定理逐步推导所需条件，能很好地考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先从已知等腰直角△ABC入手，可得∠A=∠ABC=45°，因此∠GMB=22.5°。直接推导BG和已知MH的关系较困难，因此考虑构造辅助线：作MD⊥BC，延长MD交BG延长线于点E。首先由MD//AC可得∠BMD=45°，即MG是∠BMD的角平分线，结合BG⊥MG，利用等腰三角形三线合一可得BG=½BE，接下来只需证明BE=MH，通过证明△BED与△MHD全等即可建立二者的等量关系，最终求出BG的长度。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，
∴ ∠A=∠ABC=45°，
∴ $∠ GMB=\frac{1}{2}∠ A=22.5°$。
过点M作MD⊥BC于点D，延长MD交BG的延长线于点E，
∵ $∠ C=∠ MDB=90°$，
∴ MD//AC，
∴ $∠ BMD=∠ A=45°$，
∴ $∠ GMB=∠ GME=22.5°$，即MG平分∠BME。
又
∵ BG⊥MG，
∴ $∠ BGM=∠ EGM=90°$，
在△BGM和△EGM中：
$\{\begin{array}{l}∠ BGM=∠ EGM \\GM=GM \\∠ BMG=∠ EMG\end{array} $
∴ $△ BGM≌△ EGM(\mathrm{ASA})$，
∴ $BG=EG=\frac{1}{2}BE$。
∵ MD⊥BC，
∴ $∠ BDE=∠ MDH=90°$，
∵ $∠ EBD+∠ E=90°$，$∠ HMD+∠ E=90°$，
∴ $∠ EBD=∠ HMD$。
又
∵ $∠ BMD=∠ MBD=45°$，
∴ $BD=MD$，
在△BED和△MHD中：
$\{\begin{array}{l}∠ EBD=∠ HMD \\BD=MD \\∠ BDE=∠ MDH\end{array} $
∴ $△ BED≌△ MHD(\mathrm{ASA})$，
∴ $BE=MH=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $BG=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
BG的长为$4\ \mathrm{cm}$。

【知识点】
1. 等腰直角三角形性质
2. 全等三角形判定与性质
3. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于几何综合题，解题的核心是通过构造辅助线得到全等三角形与等腰三角形，将未知线段长度转化为与已知线段相关的形式，这类题要求学生熟练掌握特殊三角形的性质和全等三角形的证明方法，能灵活运用辅助线建立线段间的等量关系。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题考查角平分线背景下的线段数量关系推导，解题核心是利用角平分线的性质构造全等三角形，结合角的倍数关系推导等腰三角形实现线段转化：
（1）已知AD是角平分线且∠C=90°，首先考虑角平分线的性质，过D作AB的垂线，得到相等线段CD=DE，再证明三角形全等将AC转化为AE，结合∠ACB=2∠B推导△BDE为等腰三角形，得到BE=DE=CD，即可将AB拆分为AE+BE，转化为AC+CD。
（2）与第（1）问思路一致，采用截长法，在AB上截取与AC相等的线段，构造全等三角形，结合角的关系即可得到对应的线段数量关系。
（3）AD是外角平分线时，同样利用角平分线构造全等，在AF上截取与AC相等的线段AG，证明△GAD≌△CAD将CD转化为GD，再结合角的倍数关系证明△BGD为等腰三角形，得到BG=GD=CD，即可推出AB=BG-AG=CD-AC。
【解析】
（1）证明：过点D作DE⊥AB于点E。
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DC=DE\end{array} $
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE。
∵∠ACB=90°，∠ACB=2∠B，
∴∠B=45°，
在Rt△BDE中，∠EDB=90°-∠B=45°=∠B，
∴BE=DE=CD。
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+CD。
（2）根据第（1）问的推导逻辑，可直接得到猜想：$\boldsymbol{AB=AC+CD}$。
（3）猜想：$\boldsymbol{AB=CD-AC}$，证明如下：
在AF上截取AG=AC，连接DG。
∵AD平分∠FAC，
∴∠GAD=∠CAD。
在△GAD和△CAD中，
$\{\begin{array}{l}AG=AC\\ ∠ GAD=∠ CAD\\ AD=AD\end{array} $
∴△GAD≌△CAD（SAS），
∴GD=CD，∠AGD=∠ACD，
∴∠DGB=∠ACB（邻补角性质）。
∵∠ACB=2∠B，
∴∠DGB=2∠B，
又
∵∠DGB=∠B+∠GDB，
∴∠B=∠GDB，
∴BG=GD=CD。
∵AB=BG-AG，AG=AC，
∴AB=CD-AC。
【答案】
（1）AB=AC+CD，证明成立；
（2）$AB=AC+CD$；
（3）$AB=CD-AC$。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是角平分线与三角形全等、等腰三角形结合的典型几何探究题，核心解题方法是利用角平分线构造全等三角形，结合角的数量关系推导等腰实现线段转化，能够有效锻炼几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6