问题 如图,在等腰直角$△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$O$是$AB$的中点,且$AC=3$,将一块直角三角板的直角顶点放在点$O$处,始终保持该直角三角板的两直角边分别与$AC$,$BC$相交,交点分别为$D$,$E$,求$CD+CE$的值.
名师指导
连接$OC$构建全等三角形,证明$△ ODC ≌ △ OEB$,得$DC=BE$,把$CD+CE$转化到同一条线段上,即求$BC$的长.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
证明:
答案：证明：
连接OC，
∵ △ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，O是AB的中点，
∴ AC=BC=3，OC=OB，∠ACO=∠B=45°，OC⊥AB，
∴ ∠COB=90°，即∠COE+∠EOB=90°，
又∵ ∠DOE=90°，即∠DOC+∠COE=90°，
∴ ∠DOC=∠EOB，
在△ODC和△OEB中，
$\{\begin{array}{l}∠DCO=∠B \\OC=OB \\∠DOC=∠EOB\end{array} $
∴ △ODC≌△OEB（ASA），
∴ DC=BE，
∴ CD+CE=BE+CE=BC=3。
解析：
【分析】
要求CD+CE的值，观察图形可通过构造全等三角形将两条线段转化到同一条线段上求解。首先，等腰直角三角形斜边中点有特殊性质，因此先连接OC，可得OC=OB、∠ACO=∠B=45°、OC⊥AB；再结合直角三角板的直角∠DOE=90°，利用同角的余角相等得到∠DOC=∠EOB，即可证明△ODC≌△OEB，得到DC=BE，最后将CD+CE转化为BC的长即可求出结果。
【解析】
连接OC，
∵ △ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，O是AB的中点，
∴ AC=BC=3，OC=OB，∠ACO=∠B=45°，OC⊥AB，
∴ ∠COB=90°，即∠COE+∠EOB=90°，
又
∵ ∠DOE=90°，即∠DOC+∠COE=90°，
∴ ∠DOC=∠EOB，
在△ODC和△OEB中，
$\{\begin{array}{l}∠DCO=∠B \\OC=OB \\∠DOC=∠EOB\end{array} $
∴ △ODC≌△OEB（ASA），
∴ DC=BE，
∴ CD+CE=BE+CE=BC=3。
【答案】
3
【知识点】
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形结合的典型题型，解题的关键是通过连接辅助线构造全等三角形，利用转化思想将所求线段和转化为已知边长的线段，考查了对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图,在已知的$△ ABC$中,按以下步骤作图:
① 分别以 B,C 为圆心,以大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧,两弧相交于两点 M,N;
② 作直线 MN 交 AB 于点 D,连接 CD.
若$CD=AC,∠A=50°$,则$∠ACB$的度数为 （
D
）
A.$90°$
B.$95°$
C.$100°$
D.$105°$
答案：1. D.
解析：
【分析】
首先根据尺规作图的步骤判断MN是线段BC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可得CD=BD，进而得到∠B=∠BCD；再结合已知CD=AC，利用等腰三角形等边对等角的性质求出∠ADC的度数，接着根据三角形外角的性质求出∠B的度数，最后利用三角形内角和定理即可计算出∠ACB的度数。
【解析】
解：由作图步骤可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质可得：$ CD = BD $，
$ \therefore ∠ B = ∠ BCD $。
已知$ CD=AC $，$ ∠ A=50° $，
根据等腰三角形等边对等角的性质，得$ ∠ ADC = ∠ A = 50° $。
$ \because ∠ ADC $是$ △ BCD $的外角，
$ \therefore ∠ ADC = ∠ B + ∠ BCD = 2∠ B $，
解得$ ∠ B = \frac{1}{2}∠ ADC = 25° $。
在$ △ ABC $中，根据三角形内角和为$ 180° $，
得$ ∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 50° - 25° = 105° $。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是先根据尺规作图的特征判断出直线MN的性质，再结合等腰三角形、三角形内外角的相关性质逐步推导角度，对几何性质的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
2. 如图, 在$△ ABC$中,$AB=AC$,$P$是$△ ABC$内一点, 且$∠ PBC=∠ PCA$, 若$∠ BPC=115°$, 则$∠ A$的度数为（
A
）
A.$50°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$65°$
答案：2. A.
解析：
【分析】
解题时先从已知角度的△BPC入手，利用三角形内角和定理求出∠PBC与∠PCB的度数和；再结合已知∠PBC=∠PCA，通过等量代换得到等腰△ABC的底角∠ACB的度数；最后根据等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和定理即可求出顶角∠A的度数。
【解析】
在△BPC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ PBC + ∠ PCB = 180° - ∠ BPC = 180° - 115° = 65°$
∵ $∠ PBC = ∠ PCA$
∴ $∠ PCA + ∠ PCB = 65°$，即$∠ ACB = 65°$
又
∵ $AB = AC$，△ABC为等腰三角形
∴ $∠ ABC = ∠ ACB = 65°$
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ A = 180° - ∠ ABC - ∠ ACB = 180° - 65° × 2 = 50°$
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；等量代换
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题核心是通过角的等量转化将已知条件和待求角建立关联，熟练掌握等腰三角形性质和三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
