问题 在平面直角坐标系中,已知点$A(2,2),B(4,0)$.若在坐标轴上取点$C$,使$△ ABC$为等腰三角形,则满足条件的点$C$有多少个?
名师指导
构造等腰三角形,分别以$A,B$为圆心,以$AB$的长为半径画圆;作$AB$的垂直平分线.注意:与点$B$重合及与$AB$共线的点要排除.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
答案：解：
∵ A(2,2)，B(4,0)
∴ AB = √[(4-2)² + (0-2)²] = 2√2
分三种情况讨论：
1. 当AB = AC时：
以点A为圆心，AB长为半径作圆：
圆与x轴交于点(0,0)和(4,0)，其中(4,0)与点B重合，舍去，保留点(0,0)；
圆与y轴交于点(0,0)和(0,4)，点(0,0)已计数，保留点(0,4)。
该类共得到2个有效点。
2. 当AB = BC时：
以点B为圆心，AB长为半径作圆：
圆与x轴交于点(4+2√2, 0)和(4-2√2, 0)，两点均不与A、B重合，均有效；
点B到y轴的距离为4，大于半径2√2，该圆与y轴无交点。
该类共得到2个有效点。
3. 当AC = BC时：
作线段AB的垂直平分线：
AB中点为(3,1)，AB的斜率为-1，因此垂直平分线斜率为1，方程为y = x - 2：
与x轴交于点(2, 0)，有效；
与y轴交于点(0, -2)，有效。
该类共得到2个有效点。
三类合计有效点总数为2+2+2=6。
答：满足条件的点C有6个。
解析：
【分析】
要解决这个问题，首先依据等腰三角形“两边相等”的定义，分三类讨论：①AB为腰，A为顶角顶点（AB=AC）；②AB为腰，B为顶角顶点（AB=BC）；③AB为底边（AC=BC）。第一步先计算AB的长度，再分别结合“圆上的点到圆心距离相等”“垂直平分线上的点到线段两端点距离相等”的性质，在坐标轴上找符合条件的点C，最后排除和A、B重合的无效点，统计有效点总数即可。
【解析】
已知点$A(2,2),B(4,0)$，先计算AB的长度：
根据两点间距离公式，$AB = \sqrt{(4-2)^2 + (0-2)^2} = 2\sqrt{2}$。
分三种情况讨论：
1. 当$AB = AC$时：
以点A为圆心，AB长为半径作圆，圆与坐标轴的交点即为候选点C：
圆与x轴交于点$(0,0)$和$(4,0)$，其中$(4,0)$与点B重合，舍去，保留点$(0,0)$；
圆与y轴交于点$(0,0)$和$(0,4)$，点$(0,0)$已计数，保留点$(0,4)$。
该类共得到2个有效点。
2. 当$AB = BC$时：
以点B为圆心，AB长为半径作圆，圆与坐标轴的交点即为候选点C：
圆与x轴交于点$(4+2\sqrt{2}, 0)$和$(4-2\sqrt{2}, 0)$，两点均不与A、B重合，均有效；
点B到y轴的距离为4，大于半径$2\sqrt{2}$，该圆与y轴无交点。
该类共得到2个有效点。
3. 当$AC = BC$时：
点C在AB的垂直平分线上：
AB中点为$(3,1)$，AB的斜率为$\frac{0-2}{4-2}=-1$，因此垂直平分线斜率为1，可得垂直平分线方程为$y = x - 2$；
该直线与x轴交于点$(2, 0)$，与y轴交于点$(0, -2)$，均有效。
该类共得到2个有效点。
三类有效点总和为$2+2+2=6$。
【答案】
满足条件的点C有6个。
【知识点】
等腰三角形的定义；两点间距离公式；垂直平分线的性质
【点评】
本题核心考查分类讨论思想的应用，解题关键是对等腰三角形的腰和底边进行全面分类，同时要注意排除与已知点重合的无效点，避免出现多解或漏解的问题。
【难度系数】
0.6
1. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$,$BD$,$CE$分别为$∠ ABC$与$∠ ACB$的角平分线,且相交于点$F$,则图中的等腰三角形有（
D
）
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
答案：1. D.
解析：
【分析】
解题思路如下：首先根据已知条件AB=AC确定△ABC是等腰三角形，先计算出△ABC两个底角的度数；再结合角平分线的性质，算出所有被分出的小角的度数；最后根据“等角对等边”的等腰三角形判定定理，逐一判断图中所有三角形是否为等腰三角形，数的时候要按顺序避免遗漏。
【解析】
解：①首先，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∠ABC=∠ACB=(180°-∠A)÷2=(180°-36°)÷2=72°。
②
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=36°。
逐个判断：
1. △ABC：AB=AC，是等腰三角形；
2. △ABD：∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD，是等腰三角形；
3. △ACE：∠A=∠ACE=36°，
∴AE=CE，是等腰三角形；
4. △BCE：∠BEC=180°-∠ABC-∠BCE=180°-72°-36°=72°=∠ABC，
∴BC=CE，是等腰三角形；
5. △CBD：∠CDB=180°-∠ACB-∠DBC=180°-72°-36°=72°=∠ACB，
∴BC=BD，是等腰三角形；
6. △FBC：∠FBC=∠FCB=36°，
∴FB=FC，是等腰三角形；
7. △FBE：∠BFE=∠FBC+∠FCB=72°=∠BEF，
∴BE=BF，是等腰三角形；
8. △FCD：∠CFD=∠FBC+∠FCB=72°=∠CDF，
∴CD=CF，是等腰三角形。
综上，共有8个等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题核心考查等腰三角形的判定，解题的关键是先通过已知条件计算出图中各个角的度数，再结合“等角对等边”逐一验证，解题时要按顺序枚举三角形，避免漏数、多数。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在$△ ABC$中,$AC=8$,点$D$,$E$分别在$BC$,$AC$上,$F$是$BD$的中点.若$AB=AD$,$EF=EC$,则$EF$的长是 (
B
)
A.3
B.4
C.5
D.6
答案：2. B.
解析：
【分析】
解题时首先观察已知条件：AB=AD说明△ABD是等腰三角形，F是BD中点，由此可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，先连接辅助线AF，得到AF⊥BC，即△AFC为直角三角形。再结合EF=EC的条件，利用等腰三角形等边对等角、直角三角形两锐角互余的性质，推导角的等量关系，进而得到边的关系，即可求出EF的长度。
【解析】
解：连接AF。
∵AB=AD，F是BD的中点，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AF⊥BC，即∠AFC=90°，
∴在Rt△AFC中，∠EAF + ∠C = 90°，∠AFE + ∠EFC = 90°。
∵EF=EC，
∴∠EFC=∠C（等边对等角），
∴∠EAF=∠AFE（等角的余角相等），
∴AE=EF（等角对等边）。
又
∵EF=EC，
∴AE=EF=EC，即EF=$\frac{1}{2}$AC。
已知AC=8，
∴EF=$\frac{1}{2}$×8=4。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的典型题型，解题的关键是通过作辅助线AF构造直角三角形，结合角的等量关系推导边的数量关系，考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
