【分析】
本题为三角形综合题，解题思路如下：
(1)① 已知角度倍数关系，设∠CDE=α，用α表示∠BAC，结合∠EDF=90°计算△ADF的两个内角，通过等角对等边证明AD=AF；
② 利用等腰直角三角形DEF的45°内角，推导∠BEF和∠BFE相等，得到BE=BF，再将AB拆分为AF+BF，结合①的结论即可完成证明；
(2) 探究线段数量关系时，先作辅助线：过C作CM//AB交FP延长线于M，延长PF交CA延长线于N，首先通过AAS证△BFP≌△CMP得BF=CM；再设∠ACF=α，推导角度得到AF=AN、CN=CM=BF，最后将AB=AF+BF中的BF用AC和AF替换，即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 证明：设$∠ CDE=α$，则$∠ BAC=2α$。
① $\because ∠ EDF=90°$，$\therefore ∠ ADF=180°-∠ EDF-∠ CDE=90°-α$，
在$△ ADF$中，$∠ AFD=180°-∠ BAC-∠ ADF=180°-2α-(90°-α)=90°-α$，
$\therefore ∠ ADF=∠ AFD$，$\therefore AD=AF$。
② $\because △ DEF$是等腰直角三角形，$∠ EDF=90°$，
$\therefore ∠ DEF=∠ DFE=45°$，
$\because ∠ C=90°$，$∠ CDE=α$，$\therefore ∠ CED=90°-α$，
$\therefore ∠ BEF=180°-∠ CED-∠ DEF=180°-(90°-α)-45°=45°+α$，
又$\because ∠ BFE=180°-∠ AFD-∠ DFE=180°-(90°-α)-45°=45°+α$，
$\therefore ∠ BFE=∠ BEF$，$\therefore BE=BF$，
$\therefore AB=AF+BF=AD+BE$。
(2) 解：$AB=2AF+AC$，理由如下：
延长$PF$交$CA$的延长线于点$N$，过点$C$作$CM// AB$交$FP$的延长线于点$M$，
则$∠ M=∠ BFP$，
$\because$点$P$是$BC$的中点，$\therefore CP=BP$，
在$△ BFP$和$△ CMP$中：
$\begin{cases}∠ BFP=∠ M \\∠ BPF=∠ CPM \\BP=CP\end{cases}$
$\therefore △ BFP≌△ CMP(\mathrm{AAS})$，$\therefore BF=CM$。
设$∠ ACF=α$，则$∠ ABC=2∠ ACF=2α$，
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ BAC=90°-2α$，
$\because △ CDF$是等腰直角三角形，$\therefore ∠ CFD=45°$，
$\because ∠ BFC$是$△ AFC$的外角，$\therefore ∠ BFC=∠ BAC+∠ ACF=90°-2α+α=90°-α$，
$\therefore ∠ BFP=∠ BFC-∠ CFD=90°-α-45°=45°-α$，
$\therefore ∠ M=∠ BFP=45°-α$，$∠ AFN=∠ BFP=45°-α$，
在$△ AFN$中，$∠ BAC$是外角，$\therefore ∠ BAC=∠ N+∠ AFN$，
$\therefore ∠ N=∠ BAC-∠ AFN=(90°-2α)-(45°-α)=45°-α$，
$\therefore ∠ N=∠ AFN$，$∠ N=∠ M$，
$\therefore AF=AN$，$CN=CM$，
$\therefore BF=CM=CN=AC+AN=AC+AF$，
$\therefore AB=AF+BF=AF+AC+AF=2AF+AC$。
【答案】
(1) ①②证明见解析；(2) $\boldsymbol{AB=2AF+AC}$
【知识点】
1. 等腰三角形判定与性质
2. 全等三角形判定与性质
3. 三角形内角和与外角定理
【点评】
本题前两小问侧重角度计算和等腰三角形性质的基础应用，难度较低；第二问需要通过构造平行线得到全等三角形，实现线段的等量转换，对辅助线构造能力和逻辑推理能力有一定要求，整体考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.4
