【分析】
本题解题思路围绕共顶点等边三角形的“手拉手全等”模型展开：1. 先利用等边三角形的边、角性质证明△BCD≌△ACE，得到对应角、对应边相等，作为后续推导的基础；2. 逐个验证4个结论：①借助全等得到的等角，结合AC=BC、∠BCF=∠ACG=60°，证明△BCF≌△ACG即可判断；②利用全等的对应角相等，结合三角形内角和推导∠BOE的度数；③由△BCF≌△ACG得CF=CG，结合∠FCG=60°证△FCG是等边三角形，即可判断FG与CG的关系；④根据角平分线判定可知OC平分∠BOE，但两个等边三角形边长不一定相等，无法推出两角相等。
【解析】
解：
∵$△ ABC$和$△ CDE$都是等边三角形
∴$BC=AC$，$CD=CE$，$∠ ACB=∠ DCE=60°$
∴$∠ ACB+∠ ACD=∠ DCE+∠ ACD$，即$∠ BCD=∠ ACE$
在$△ BCD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases} BC=AC \\ ∠ BCD=∠ ACE \\ CD=CE \end{cases}$
∴$△ BCD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$，得$∠ CBD=∠ CAE$
①验证$AG=BF$：
$∠ BCF=∠ ACG=60°$，在$△ BCF$和$△ ACG$中：
$\begin{cases} ∠ CBF=∠ CAG \\ BC=AC \\ ∠ BCF=∠ ACG \end{cases}$
∴$△ BCF≌△ ACG(\mathrm{ASA})$，得$BF=AG$，①正确；
②验证$∠ BOE=120°$：
$∠ BOE=180°-∠ OBE-∠ OEB=180°-∠ CBD-∠ AEC$
由$△ BCD≌△ ACE$得$∠ AEC=∠ BDC$
∴$∠ CBD+∠ AEC=∠ CBD+∠ BDC=∠ DCE=60°$
∴$∠ BOE=180°-60°=120°$，②正确；
③验证$FG=CG$：
由$△ BCF≌△ ACG$得$CF=CG$，又$∠ FCG=60°$
∴$△ FCG$是等边三角形，得$FG=CG$，③正确；
④验证$∠ ACO=∠ DCO$：
过$C$作$CM⊥ BD$于$M$，$CN⊥ AE$于$N$，由$△ BCD≌△ ACE$得两三角形面积相等、$BD=AE$，故对应高$CM=CN$，得$OC$平分$∠ BOE$，但$△ ABC$和$△ CDE$边长不一定相等，无法证明$△ ACO≌△ DCO$，故$∠ ACO$不一定等于$∠ DCO$，④错误。
综上，正确结论共3个。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形的综合题，核心是掌握共顶点等边三角形的手拉手全等模型，推导时注意不要默认两个等边三角形边长相等，避免误判结论。
【难度系数】
0.6

【分析】
解决这道题分两步走，第一步数三角形总数，要按照从小到大、分类枚举的思路，避免重复或者漏数：先数单个的小三角形，再数由多个小三角形组合成的大三角形，最后相加即可。第二步找以∠C为内角的三角形，要紧扣三角形内角的定义：内角是三角形内部相邻两边的夹角，所以这类三角形一定包含顶点C，再逐一筛选即可。
【解析】
1. 计算三角形总数：
① 单个小三角形：△ADE、△AEB、△BCE，共3个；
② 两个小三角形组合成的大三角形：△ABD（由△ADE和△AEB组成）、△ABC（由△AEB和△BCE组成），共2个；
总计3+2=5个。
2. 找以∠C为内角的三角形：
三角形的内角需要在三角形内部，且顶点包含C，筛选可得符合要求的是△ABC和△EBC。
【答案】
5；△ABC,△EBC
【知识点】
三角形的定义；三角形的内角
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形的识别，解题关键是养成按顺序枚举的习惯，避免数三角形时出现重复、遗漏的问题。
【难度系数】
0.8

【分析】
解决本题首先要结合等腰三角形两腰相等的性质分情况讨论边长组合，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断组合是否成立，舍去不能构成三角形的情况，最后计算符合要求的三角形周长即可。
【解析】
已知等腰三角形两边长为2和4，分两种情况讨论：
1. 若腰长为2，底边长为4，此时三角形三边长为2、2、4
因为2+2=4，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，该情况舍去；
2. 若腰长为4，底边长为2，此时三角形三边长为4、4、2
验证三边关系：2+4＞4，4+4＞2，满足构成三角形的条件，
此时周长为4+4+2=10。
【答案】
10
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；周长计算
【点评】
本题易错点是分类讨论边长后忘记验证三角形三边关系，误将两种情况都算入得到错误结果，解题时要养成讨论边长后验证三边是否符合构成条件的习惯。
【难度系数】
0.7

【分析】
遇到这类等腰三角形中线分周长差的问题，解题思路如下：①先设腰长为未知数，利用中线性质可知中线将腰分为等长的两段，分周长得到的两部分中，半腰长和中线是公共部分，因此两部分的差本质是腰长与底边长的差；②分两种情况讨论：腰长比底边长多2.5cm、底边长比腰长多2.5cm，分别列方程求解；③最后用三角形三边关系验证解得的边长是否能构成三角形，舍去不符合要求的解。
【解析】
设等腰三角形的腰长为$ x $ cm，一腰上的中线将腰分为两段长度均为$ \frac{x}{2} $ cm的线段。
中线把三角形周长分成的两部分的差为2.5 cm，由于半腰长和中线长是两部分的公共项，因此可列方程：
$ |x - 5| = 2.5 $
分两种情况求解：
1. 当腰长大于底边长时：$ x - 5 = 2.5 $，解得$ x = 7.5 $
此时三角形三边长为7.5 cm、7.5 cm、5 cm，满足$ 7.5 + 7.5 ＞ 5 $、$ 7.5 + 5 ＞ 7.5 $，符合三角形三边关系，成立。
2. 当底边长大于腰长时：$ 5 - x = 2.5 $，解得$ x = 2.5 $
此时三角形三边长为2.5 cm、2.5 cm、5 cm，$ 2.5 + 2.5 = 5 $，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
【答案】
7.5 cm
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，中线的定义
【点评】
本题易错点在于忽略分类讨论或忘记验证三角形三边关系，直接保留两个解，做题时要注意周长差存在两种可能性，且最终的边长必须符合三角形的构成条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先回忆关于x轴对称的点的坐标特征：关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数。我们可以根据这个特征，分别对应两个已知点的横、纵坐标，求出a和b的值，最后代入计算a+b的结果即可。
【解析】
根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
已知点$(3,b)$和$(a,2)$关于x轴对称，因此：
横坐标相等：$a=3$
纵坐标互为相反数：$b=-2$
将a、b的值代入计算：$a+b=3+(-2)=1$
【答案】
1
【知识点】
1. x轴对称点坐标特征
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查平面直角坐标系中对称点的坐标规律的应用，只要准确记忆不同对称方式下点的坐标变化特点，就能快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
这是求两条线段和最小值的问题，解题思路如下：第一步，利用等腰三角形性质，AB=AC且D是BC中点，因此AD是BC的垂直平分线，点B和点C关于AD对称，可得BM=CM，将BM+MN转化为CM+MN；第二步，根据垂线段最短，要让CM+MN最小，需使C、M、N三点共线且CN垂直AB，此时最小值就是点C到AB的垂线段长度；第三步，用三角形面积法计算这条垂线段的长度即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD是BC的垂直平分线（等腰三角形三线合一），
∴点B与点C关于AD对称，即BM=CM，
∴BM+MN=CM+MN。
根据垂线段最短可知，当CN⊥AB且点M在CN上时，CM+MN的最小值为CN的长度。
计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×12×8=48$，
又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×CN$，AB=10，
代入得：$\frac{1}{2}×10×CN=48$，
解得$CN=9.6$，即BM+MN的最小值为9.6。
【答案】
9.6
【知识点】
轴对称最短路径，等腰三角形性质，垂线段最短
【点评】
本题是最短路径的典型题型，解题核心是通过轴对称将两条线段的和转化为点到直线的距离，结合面积法求高，考察了几何转化思想，对基础定理的灵活应用能力要求较高。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先在Rt△ABC中，利用内角和算出∠A=60°，结合30°角对的直角边是斜边一半的性质，得到AC=AB/2。再根据等边三角形DEF的性质，得到DE=EF、∠DEF=60°，通过角度的和差关系推导得∠ADE=∠BEF。接下来通过作辅助线构造含60°角的三角形，利用AAS证明其与△ADE全等，得到对应边相等；再结合△BGF的角度判定为等腰三角形，进一步转化边的关系，最后代入边长建立方程即可求出AB的长度。
【解析】
1. 计算∠A和边的基础关系：
在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，因此$∠ A=180°-90°-30°=60°$，且$AC=\frac{1}{2}AB$（直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半）。
2. 推导等角关系：
∵△DEF是等边三角形，
∴$DE=EF$，$∠ DEF=60°$，
∴$∠ AED + ∠ BEF=180°-∠ DEF=120°$。
在△ADE中，$∠ A=60°$，
∴$∠ ADE + ∠ AED=180°-60°=120°$，
∴$∠ ADE=∠ BEF$。
3. 构造辅助线证明全等：
在EB上取点G，使$∠ EGF=60°$，则$∠ A=∠ EGF=60°$。
在△ADE和△GEF中：
$\begin{cases}∠ A=∠ EGF \\∠ ADE=∠ GEF \\DE=EF\end{cases}$
∴$△ ADE ≌ △ GEF$（AAS），
∴$AD=EG$，$AE=GF$。
4. 推导等腰三角形转化边：
在△BGF中，$∠ BGF=180°-∠ EGF=120°$，$∠ B=30°$，
∴$∠ BFG=180°-120°-30°=30°=∠ B$，
∴$BG=GF$，因此$BG=AE$。
5. 建立方程求解：
设AB的长为$y$，则$AE=AB-BE=y-8$，$AD=AC-CD=\frac{1}{2}y -5$。
又
∵$AB=AE + EG + BG=AE + AD + AE=2AE + AD$，
代入得：
$y=2(y-8)+(\frac{1}{2}y -5)$
解方程：
$y=2y-16+\frac{1}{2}y-5$
$y=\frac{5}{2}y-21$
$\frac{3}{2}y=21$
$y=14$
【答案】
14
【知识点】
直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质
【点评】
本题是特殊三角形的综合应用题，解题关键是通过角度关系推导等角，合理构造全等三角形转化边的等量关系，再结合方程思想求解，较好地考查了几何分析和综合应用能力。
【难度系数】
0.3

【分析】
要求∠BDF的度数，我们可以先利用三角形内角和定理计算出△ABC中∠A的度数，再观察发现∠BDF是△ADE的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，将∠A和已知的∠AED相加即可求出∠BDF的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ ACB$
代入$∠ B=67°$，$∠ ACB=74°$，得：
$∠ A = 180° - 67° - 74° = 39°$
∵$∠ BDF$是$△ ADE$的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴$∠ BDF = ∠ A + ∠ AED$
代入$∠ AED=48°$，得：
$∠ BDF = 39° + 48° = 87°$
【答案】
$87°$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型基础题，解题关键是理清待求角和已知角的关联，灵活运用三角形相关角度性质代入计算即可，掌握基础定理就能顺利解答。
【难度系数】
0.8