【分析】
本题是含整式乘法的方程求解问题，解题思路分四步：第一步，依据单项式乘多项式的运算法则去掉方程两边的括号，注意不要漏乘括号内的项，同时关注符号；第二步，将方程中含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，移项要变号；第三步，合并同类项，观察发现二次项会相互抵消，方程会转化为标准的一元一次方程；第四步，将未知数的系数化为1即可求得解，最后可以代入原方程检验结果是否正确。
【解析】
解：首先根据单项式乘多项式法则去括号：
左边：$x(3x-4)+2x(x+7)=3x^2 - 4x + 2x^2 + 14x = 5x^2 + 10x$
右边：$5x(x-7)+90=5x^2 - 35x + 90$
原方程可化为：
$5x^2 + 10x = 5x^2 - 35x + 90$
移项，得：
$5x^2 + 10x - 5x^2 + 35x = 90$
合并同类项，得：
$45x = 90$
系数化为1，得：
$x = 2$
检验：将$x=2$代入原方程，左边$=2×(6-4)+2×2×(2+7)=40$，右边$=5×2×(2-7)+90=40$，左边=右边，解成立。
【答案】
$x=2$
【知识点】
单项式乘多项式；解一元一次方程
【点评】
本题属于整式乘法与解方程的综合基础题，解题的核心是正确完成单项式乘多项式的运算，注意去括号时的符号和不要漏乘项，本题中二次项运算后相互抵消，直接转化为一元一次方程求解即可，计算时要注意细心，避免出现低级运算错误。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先逐个统计前5个图的小黑点个数：n=1时S=1，n=2时S=3，n=3时S=7，n=4时S=13，n=5时S=21。接下来观察S和n的对应关系，可发现每个S都符合“n的平方减n加1”的规律，求n=8时的S，只需将n=8代入归纳出的公式计算即可。
【解析】
1. 统计前5个图形的小黑点数量：
第1个图：$S_1=1$
第2个图：$S_2=3$
第3个图：$S_3=7$
第4个图：$S_4=13$
第5个图：$S_5=21$
2. 归纳规律：
对上述数值变形可得：
$S_1=1=1^2-1+1$
$S_2=3=2^2-2+1$
$S_3=7=3^2-3+1$
$S_4=13=4^2-4+1$
$S_5=21=5^2-5+1$
因此第$n$个图的小黑点个数为$S=n^2-n+1$。
3. 计算$n=8$时的$S$：
将$n=8$代入$S=n^2-n+1$，得：
$S=8^2-8+1=64-8+1=57$
【答案】
(1) 57；(2) $n^2-n+1$
【知识点】
图形规律探究；列代数式；代数式求值
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，解题核心是通过统计前几个图形的点数，观察点数与图形序号的对应关系，归纳出通用代数式，再代入特定值求解，能有效锻炼观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题可通过两种思路求解：一是利用多项式乘多项式的法则，将每个选项的式子展开，再与目标式子$x^2+x-6$对比判断；二是对目标式子进行因式分解，直接匹配对应选项。多项式乘多项式时，需注意用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再合并同类项。
【解析】
方法一：逐个展开选项验证
根据多项式乘多项式法则$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$：
A选项：$(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$，与目标式子不符，排除；
B选项：$(x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6$，与目标式子不符，排除；
C选项：$(x-2)(x+3)=x^2+3x-2x-6=x^2+x-6$，与目标式子一致，符合要求；
D选项：$(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$，与目标式子不符，排除。
方法二：因式分解目标式子
对$x^2+x-6$用十字相乘法分解：常数项$-6$可拆为$-2×3$，且$-2+3=1$（正好是一次项系数），因此$x^2+x-6=(x-2)(x+3)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式，十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于基础运算类题目，既可以通过正向展开选项验证结果，也可以通过反向因式分解快速得到答案，核心考查对整式乘法运算规则的掌握程度，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题考查多项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先明确两个一次二项式相乘，需运用多项式乘多项式的运算法则，即先用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再把所有乘积相加，最后合并同类项得到化简结果，再与选项比对选出正确答案。计算过程中要注意每项的符号，避免漏乘。
【解析】
根据多项式乘多项式法则：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，对原式展开计算：
第一步：用$2x$乘$(x+3)$的每一项，得$2x · x + 2x · 3 = 2x^2 + 6x$；
第二步：用$-3$乘$(x+3)$的每一项，得$-3 · x + (-3) · 3 = -3x -9$；
第三步：将上述两个结果相加，合并同类项：
$2x^2 + 6x -3x -9 = 2x^2 + 3x -9$
对比选项，符合的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础题，主要考查对多项式乘多项式运算法则的掌握程度，计算时需注意不要漏乘任意一项，同时要留意每项的符号，避免因符号错误或漏乘导致结果出错。
【难度系数】
0.8

【分析】
这组题目考查整式乘法的基础运算，前5道为多项式乘多项式运算，第6道既可通过多项式乘多项式推导，也可直接用完全平方和公式求解。解题思路为：①依据多项式乘多项式法则：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项；②将所有乘积相加，合并同类项即可，运算中要注意符号的准确性。第(6)题也可直接套用完全平方和公式快速得出结果。
【解析】
(1) 按多项式乘多项式法则展开计算：
$(x+1)(x-4)=x· x + x· (-4) + 1· x + 1×(-4)=x^2-4x+x-4=x^2-3x-4$
(2) 展开计算：
$(2x-1)(3x+1)=2x· 3x + 2x· 1 + (-1)· 3x + (-1)×1=6x^2+2x-3x-1=6x^2-x-1$
(3) 展开计算：
$(x-2y)(x+5y)=x· x + x· 5y + (-2y)· x + (-2y)·5y=x^2+5xy-2xy-10y^2=x^2+3xy-10y^2$
(4) 展开计算：
$(2x+3y)(3x-2y)=2x·3x + 2x·(-2y) + 3y·3x + 3y·(-2y)=6x^2-4xy+9xy-6y^2=6x^2+5xy-6y^2$
(5) 展开计算：
$(-x-y)(x+5y)=(-x)· x + (-x)·5y + (-y)· x + (-y)·5y=-x^2-5xy-xy-5y^2=-x^2-6xy-5y^2$
(6) 方法一：按多项式乘多项式计算：
$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a· a +a· b +b· a +b· b=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$
方法二：直接套用完全平方和公式，直接得结果为$a^2+2ab+b^2$
【答案】
(1) $x^2-3x-4$；(2) $6x^2-x-1$；(3) $x^2+3xy-10y^2$；(4) $6x^2+5xy-6y^2$；(5) $-x^2-6xy-5y^2$；(6) $a^2+2ab+b^2$
【知识点】
多项式乘多项式、完全平方公式、合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础练习题，核心考查多项式乘法运算的熟练度，解题时注意不要漏乘多项式的项，合并同类项时要准确判断符号，熟练掌握运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这道题，首先回忆三角形面积计算公式：$面积=\frac{1}{2}×底×高$，先将题目给出的底和高代入公式得到整式乘法算式。再观察两个多项式的特征：两个因式中2b是相同项，6a和-6a是相反项，刚好符合平方差公式的结构，因此可以用平方差公式快速计算，最后化简即可得到结果。
【解析】
根据三角形面积公式列式计算：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×(6a+2b)×(2b-6a)\\&=\frac{1}{2}×(2b+6a)(2b-6a)\\&=\frac{1}{2}×[(2b)^2 - (6a)^2]\\&=\frac{1}{2}×(4b^2 - 36a^2)\\&=2b^2 - 18a^2\\&=-18a^2 + 2b^2\end{aligned}$
【答案】
$-18a^2+2b^2$
【知识点】
三角形面积计算；平方差公式；整式化简
【点评】
本题是几何公式和整式乘法的结合基础题，解题核心是熟练掌握三角形面积公式，同时能准确识别平方差公式的结构特征，用公式简化计算，避免常规多项式乘法运算可能出现的符号错误。
【难度系数】
0.7

【分析】
这两道题是整式运算的基础题，解题思路如下：(1) 第一题包含乘法和减法运算，按照运算顺序先算乘法，再算减法：先分别根据多项式乘多项式法则计算两个乘积项，再去括号合并同类项，注意括号前是减号时，去括号后括号内每一项都要变号；(2) 第二题是两项式乘三项式，按照多项式乘多项式法则，用第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项，再合并同类项化简即可。
【解析】
(1) 先计算多项式乘法：
$\begin{aligned}(3x+1)(2x-3)&=6x^2 -9x +2x -3\\&=6x^2 -7x -3\end{aligned}$
$\begin{aligned}(6x-5)(x-4)&=6x^2 -24x -5x +20\\&=6x^2 -29x +20\end{aligned}$
再计算减法：
$\begin{aligned}原式&=(6x^2 -7x -3)-(6x^2 -29x +20)\\&=6x^2 -7x -3 -6x^2 +29x -20\\&=22x -23\end{aligned}$
(2) 按多项式乘法法则展开：
$\begin{aligned}原式&=2a·4a^2 + 2a·(-2ab) + 2a· b^2 + b·4a^2 + b·(-2ab) + b· b^2\\&=8a^3 -4a^2b + 2ab^2 +4a^2b -2ab^2 +b^3\\&=8a^3 +b^3\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{22x-23}$；(2) $\boxed{8a^3+b^3}$
【知识点】
多项式乘多项式，整式加减运算，合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的常规基础题，重点考查运算的规范性和准确性，解题时要注意不要漏乘多项式的项，去括号时注意符号变化，熟练掌握运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8