【分析】
(1) 直身杯杯套对应圆柱的侧面积，直接利用圆柱侧面积公式$S=2π rh$，代入已知的直径和高度即可计算结果。
(2) ① 要证明弧长比等于对应半径比，可设公共圆心角为$n°$，分别用弧长公式表示两个弧长，作比后消去公共项即可得证；再结合圆台上下底周长等于展开图对应弧长，设小扇形半径为$x$，通过比例关系列方程求出半径，再代入弧长公式即可求出圆心角度数。
② 结合矩形的边长限制和120°圆心角扇形的边角性质，根据弧长要求、矩形长宽限制列不等式组，求解即可得到母线$MN$的最大长度。
【解析】
(1) 直身杯杯口直径为7cm，故半径$r=\frac{7}{2}\ \mathrm{cm}$，杯套高度$h=6\ \mathrm{cm}$，杯套面积为圆柱侧面积：
$S=2π rh=2π×\frac{7}{2}×6=42π\ \mathrm{cm}^2$。
(2) ① 证明：设$\overset{\frown}{AA'}$与$\overset{\frown}{CC'}$所对的圆心角为$n°$，
根据弧长公式得：$\overset{\frown}{AA'}$的长$=\frac{n}{360}·2π· PA=\frac{nπ}{180}· PA$，$\overset{\frown}{CC'}$的长$=\frac{n}{360}·2π· PC=\frac{nπ}{180}· PC$，
两式作比得$\frac{\overset{\frown}{AA'}\mathrm{的长}}{\overset{\frown}{CC'}\mathrm{的长}}=\frac{AP}{CP}$，结论得证。
求圆心角度数：
∵ 杯子上口径$AB=9\ \mathrm{cm}$，下底面直径$CD=4\ \mathrm{cm}$，
∴ $\overset{\frown}{AA'}$的长为上底周长$9π\ \mathrm{cm}$，$\overset{\frown}{CC'}$的长为下底周长$4π\ \mathrm{cm}$，且$PA=PC+7.5$。
设$PC=x\ \mathrm{cm}$，则$PA=(x+7.5)\ \mathrm{cm}$，代入比例得$\frac{9}{4}=\frac{x+7.5}{x}$，解得$x=6$，即$PC=6\ \mathrm{cm}$，$PA=13.5\ \mathrm{cm}$。
将$\overset{\frown}{CC'}=4π$，$PC=6$代入弧长公式：$4π=\frac{nπ×6}{180}$，解得$n=120$，即$∠ APA'$的度数为$120°$。
② 设$ON=a\ \mathrm{cm}$，$MN=b\ \mathrm{cm}$，则$OM=(a+b)\ \mathrm{cm}$，由①知展开图圆心角$∠ MOM'=120°$，由对称性可得$MM'// EF$，等腰$△ MOM'$底角为$30°$，故$MM'=\sqrt{3}(a+b)$，$O$到$NN'$的距离为$\frac{1}{2}a$，$O$到$MM'$的距离为$\frac{1}{2}(a+b)$。
结合限制条件列不等式组：
$\begin{cases}\dfrac{2}{3}π(a+b)≤9π\\\dfrac{2}{3}π a≥4π\\\sqrt{3}(a+b)≤12\sqrt{3}\\\dfrac{1}{2}a+b≤7.5\end{cases}$
化简得$\begin{cases}a+b≤13.5\\a≥6\\a+b≤12\\b≤7.5-\dfrac{a}{2}\end{cases}$，结合$a≥6$得$b≤7.5-3=4.5$，即$MN$的最大长度为4.5 cm。
杯套侧面展开图示意图如下：

【答案】
(1) $\boxed{42π}$
(2) ① 证明见解析，$∠ APA'$的度数为$\boxed{120°}$；② 示意图见解析，$MN$的最大长度为$\boxed{4.5\ \mathrm{cm}}$

【知识点】
1. 圆柱侧面积计算
2. 弧长公式应用
3. 扇形性质
【点评】
本题结合生活实际场景命题，综合考查了几何体侧面积、弧长公式、扇形性质的应用，既要求熟练掌握基础公式，也需要结合图形特征建立方程、不等式关系求解，能够锻炼综合分析问题、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.4