【分析】
解题时首先回忆相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，我们可以根据这个性质列出关于x的方程，再通过移项、合并同类项、直接开平方的步骤解一元二次方程，最终得到x的值，对应选项选出答案即可。
【解析】
已知$2x^2 + 3$与$2x^2 - 4$互为相反数，根据互为相反数的两数之和为0，可列方程：
$(2x^2 + 3)+(2x^2 - 4)=0$
合并同类项得：
$4x^2 -1=0$
移项得：
$4x^2=1$
两边同时除以4得：
$x^2=\frac{1}{4}$
直接开平方得：
$x=\pm\frac{1}{2}$
因此x的值为$\pm\frac{1}{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.相反数的性质
2.解一元二次方程（直接开平方法）
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是根据相反数的性质正确建立方程，再用直接开平方法求解一元二次方程，整体计算量小，掌握基础概念和基本解方程方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题考查一元二次方程的求解，解题时注意不能直接在方程两边同时除以(x+3)，否则会漏掉x=-3这个解。正确思路是先通过移项将方程右边化为0，再对左边的多项式提取公因式进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$x(x+3)-(x+3)=0$
提取公因式$(x+3)$，得：
$(x+3)(x-1)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x+3=0$ 或 $x-1=0$
分别解得：$x_1=-3$，$x_2=1$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点提醒学生解方程时不可随意约去含未知数的整式，避免出现丢根的错误，熟练掌握因式分解法可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题的核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。首先我们将已知的根n代入原方程，得到含有m、n的等式，再结合题目给出的n≠0的条件，对等式进行化简变形，最终就能求出m+n的值。
【解析】
∵n(n≠0)是方程$x^2+mx+n=0$的根，
∴将x=n代入方程可得：
$n^2 + m· n + n = 0$，
提取公因式n得：$n(n + m + 1) = 0$，
又
∵n≠0，
∴等式两边同时除以n，得$n + m + 1 = 0$，
移项整理得：$m + n = -1$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 因式分解的应用
【点评】
本题属于基础题，解题关键是熟练掌握方程根的定义，将根代入原方程建立关系式，再结合已知条件化简即可得到结果，考察的是基础运算和对概念的理解。
【难度系数】
0.85

【分析】
本题要求一元二次方程两根的平方和，无需直接求出两个根的值，可利用根与系数的关系（韦达定理）简化计算。首先回忆完全平方公式的变形：$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，因此只需先从已知方程中得出两根之和与两根之积，再代入变形后的式子计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x -1=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两个根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{1}=1$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{1}=-1$。
再对所求代数式变形：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，
将$x_1+x_2=1$，$x_1x_2=-1$代入得：
原式$=1^2 - 2×(-1)=1 + 2=3$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 完全平方公式变形
【点评】
本题是根与系数关系的常规应用题型，核心考查代数式的恒等变形能力，掌握此类变形可以避免求根的繁琐运算，提高解题效率。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这个问题，首先明确一元二次方程有两个不相等的实数根的条件是判别式Δ＞0。我们先确定方程中a、b、c的取值，代入判别式公式得到关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围，再在范围内找最大整数即可。
【解析】
已知方程$\frac{1}{4}x^2 - (m - 3)x + m^2 = 0$是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta ＞ 0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，本题中$a=\frac{1}{4}$，$b=-(m-3)$，$c=m^2$，代入判别式公式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2-4ac \\&= [-(m-3)]^2 - 4×\frac{1}{4}× m^2 ＞ 0 \\&= m^2 -6m +9 - m^2 ＞0 \\&= -6m +9 ＞0 \\\end{aligned}$
移项得：$-6m ＞ -9$，
两边同时除以$-6$，不等号方向改变，得：$m ＜ 1.5$。
小于1.5的最大整数是1，因此m的最大整数值是1。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题核心是根据根的个数得到判别式的符号，进而列出参数不等式求解，需要注意解不等式时两边同乘除负数，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先要准确理解新定义运算“⊕”的规则：比较参与运算的两个数的大小，结果取较大数的平方。要求解$(1⊕x)－(3⊕x)＝－5$，需要根据x与1、3的大小关系分三类讨论，分别计算两个“⊕”运算的结果，再列方程求解，最后检验解是否符合对应取值范围即可。
【解析】
根据新运算规则，分三种情况讨论：
1. 当$x≤1$时：
此时$1≥x$，$3≥x$，因此$1⊕x=1^2=1$，$3⊕x=3^2=9$
代入方程得：$1-9=-8≠-5$，该情况无解。
2. 当$1＜x≤3$时：
此时$1＜x$，$3≥x$，因此$1⊕x=x^2$，$3⊕x=3^2=9$
代入方程得：$x^2 - 9 = -5$
整理得$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$
结合取值范围$1＜x≤3$，舍去$x=-2$，得$x=2$，符合要求。
3. 当$x＞3$时：
此时$1＜x$，$3＜x$，因此$1⊕x=x^2$，$3⊕x=x^2$
代入方程得：$x^2 - x^2=0≠-5$，该情况无解。
综上，x的值为2。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，一元二次方程求解，分类讨论思想
【点评】
本题核心是正确理解新定义的运算规则，解题的关键是根据参与运算的定值与未知数的大小关系合理划分讨论区间，求解后要注意验证解是否在对应区间内，排除不符合条件的增根。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题为一元二次方程求解的基础题，可根据方程特征选择简便解法。观察方程左侧二次三项式$x^2-2x-3$，可通过十字相乘法因式分解，将方程转化为两个一次式乘积为0的形式，再依据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”的原理，转化为两个一元一次方程求解，相较于配方法、公式法，因式分解法计算更简便。
【解析】
使用因式分解法求解：
1. 对左侧二次三项式因式分解：将常数项$-3$拆分为$-3$和$1$，二者之和恰好等于一次项系数$-2$，因此可得$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$，原方程改写为：
$(x-3)(x+1)=0$
2. 由乘积为0的性质可得：
$x-3=0$ 或 $x+1=0$
3. 分别解两个一元一次方程：
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=3$
【知识点】
一元二次方程求解、因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，熟练掌握因式分解法、配方法、公式法等常规解法即可快速作答，合理运用十字相乘法因式分解能有效提升解题速度。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题分两步进行：第一步，根据一元二次方程没有实数根的条件，利用根的判别式Δ＜0建立关于m的不等式，求解得到m的取值范围；第二步，根据m的取值范围判断一次函数的斜率k和截距b的正负，再结合一次函数图象的性质判断其经过的象限，即可得出不经过的象限。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 - 2x - m = 0$没有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$
代入$a=1,b=-2,c=-m$得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-m) ＜ 0$
即$4 + 4m ＜ 0$，解得$m ＜ -1$
对于一次函数$y=(m+1)x + m - 1$：
斜率$k = m+1$，
∵ $m ＜ -1$，
∴ $m+1 ＜ 0$
截距$b = m -1$，
∵ $m ＜ -1$，
∴ $m-1 ＜ -2 ＜ 0$
当一次函数$k＜0,b＜0$时，图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
一
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一次函数图象性质
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是方程与函数的基础综合题，解题核心是先利用一元二次方程根的情况求出参数的取值范围，再结合一次函数系数与图象的对应关系判断象限，掌握基础概念是解题的关键。
【难度系数】
0.7

【分析】
题目给出的是关于x、y的二次齐次等式，要求x与y的比值。首先明确所求代数式中y作为分母，因此y≠0，无需考虑y=0的情况。我们可以先对等式左边的二次三项式用十字相乘法因式分解，将二次方程转化为两个一次方程，得到x与y的等量关系，再两边同时除以y即可求出比值。
【解析】
解：由题意得，y≠0（若y=0，所求分式$\frac{x}{y}$无意义）
对等式$x^2 -5xy +6y^2=0$左边用十字相乘法因式分解可得：
$(x-2y)(x-3y)=0$
则$x-2y=0$ 或 $x-3y=0$
即$x=2y$ 或 $x=3y$
将两式左右两边同时除以y（y≠0），可得：
$\frac{x}{y}=2$ 或 $\frac{x}{y}=3$
【答案】
2或3
【知识点】
十字相乘法因式分解；分式有意义的条件；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是合理对二次齐次式因式分解，将高次方程降次为一次方程求解，注意不要忽略分母不为0的隐含前提。
【难度系数】
0.8

【分析】
观察方程可发现$x^2+y^2$作为整体重复出现，可采用换元法简化计算：先设$t=x^2+y^2$，结合平方的非负性可知$t≥0$，将原高次方程转化为关于$t$的一元二次方程，求解后舍去不符合非负性要求的根即可得到最终结果。
【解析】
解：设$ t = x^2 + y^2 $，根据平方的非负性可得$ t ≥ 0 $，原方程可转化为：
$ t^2 - 4t - 5 = 0 $
对等式左边因式分解得：$ (t - 5)(t + 1) = 0 $
因此有$ t - 5 = 0 $或$ t + 1 = 0 $
解得$ t_1 = 5 $，$ t_2 = -1 $
由于$ t ≥ 0 $，因此$ t=-1 $不符合题意，舍去
故$ x^2 + y^2 = 5 $
【答案】
5
【知识点】
换元法解方程，因式分解法解一元二次方程，平方的非负性
【点评】
本题的核心是运用整体换元思想简化复杂方程，解题时需注意挖掘题目隐含的$x^2+y^2≥0$的条件，对求解出的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题第一步先求解一元二次方程，得到等腰三角形边长的可能取值；再结合等腰三角形两腰相等的性质分类枚举所有可能的边长组合，最后用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证组合是否合法，计算符合条件的周长即可。
【解析】
1. 求解方程$x^2 -6x +8=0$
因式分解得：$(x-2)(x-4)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=4$，即三角形的边长只能为2或4。
2. 结合等腰三角形性质分类讨论：
① 三边均为2（等边三角形是特殊的等腰三角形）：三边长为2、2、2，满足三边关系，周长为$2+2+2=6$；
② 三边均为4：三边长为4、4、4，满足三边关系，周长为$4+4+4=12$；
③ 腰长为2，底边长为4：三边长为2、2、4，因$2+2=4$，不满足三角形三边关系，舍去该情况；
④ 腰长为4，底边长为2：三边长为4、4、2，满足$4+2＞4$、$4+4＞2$，符合三边关系，周长为$4+4+2=10$。
综上，这个三角形的周长为6或10或12。
【答案】
6或10或12
【知识点】
一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分类讨论思想，解题时容易遗漏等边三角形这种特殊的等腰三角形情况，也容易忘记验证三边关系得到错解，做题时要注意分类全面、逐一验证。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题考查一元二次方程根的相关知识，解题思路分三步：首先根据方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式Δ＞0求出m的取值范围；再利用根与系数的关系（韦达定理）表示出$x_1+x_2$和$x_1·x_2$，代入已知等式求出m的可能值；最后结合之前得到的取值范围筛选出符合条件的m即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2m$，常数项$c=m^2 - m + 2$。
1. 由方程有两个不相等的实数根，可得判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$：
$\Delta = (2m)^2 - 4×1×(m^2 - m + 2) = 4m^2 - 4m^2 + 4m - 8 = 4m - 8 ＞ 0$
解得$m ＞ 2$。
2. 根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2m$，$x_1·x_2 = \frac{c}{a} = m^2 - m + 2$
3. 将上述结果代入$x_1 + x_2 + x_1·x_2 = 2$：
$-2m + m^2 - m + 2 = 2$
整理得$m^2 - 3m = 0$，因式分解得$m(m - 3) = 0$
解得$m_1 = 0$，$m_2 = 3$。
4. 结合$m ＞ 2$的取值范围，舍去不符合条件的$m=0$，因此$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 根与系数的关系 3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的经典综合题型，易错点是求出参数的可能值后忽略验证根的判别式，导致出现增根，解题时要养成先判断参数取值范围、最后验根的习惯。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 用配方法解$x^2 +5x +3=0$时，先将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式，最后开平方转化为一元一次方程求解即可。
(2) 解方程$(3x+1)^2=4(x-5)^2$时，观察到等式两边都是完全平方形式，可先移项，再利用平方差公式因式分解，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，进而求解，方法更简便。
【解析】
(1) 用配方法解$x^2 +5x +3=0$：
① 移项，得$x^2 +5x = -3$；
② 配方，等式两边同时加$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，得$x^2 +5x +\frac{25}{4} = -3 +\frac{25}{4}$，整理为$(x+\frac{5}{2})^2 = \frac{13}{4}$；
③ 开平方，得$x+\frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{13}}{2}$；
④ 移项求解，得$x = \frac{-5\pm\sqrt{13}}{2}$。
(2) 解$(3x+1)^2=4(x-5)^2$：
① 移项，得$(3x+1)^2 - [2(x-5)]^2 = 0$；
② 利用平方差公式因式分解，得$[3x+1 - 2(x-5)][3x+1 + 2(x-5)] = 0$；
③ 化简因式，得$(x+11)(5x-9)=0$；
④ 令每个因式为0，得$x+11=0$或$5x-9=0$，分别解得$x=-11$或$x=\frac{9}{5}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{-5+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{-5-\sqrt{13}}{2}$
(2) $x_1=-11,x_2=\frac{9}{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，平方差公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，重点考察配方法的规范步骤，以及根据方程特征灵活选择简便解法的能力，熟练掌握各类解法的适用场景可提升解题效率。
【难度系数】
0.85