【分析】
（1）已知x=1是方程的根，根据方程根的定义，根代入方程可使等式成立，因此将x=1代入原方程，就能得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
（2）方程有两个不相等的实数根，首先说明该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即k≠0；其次根据一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，当Δ=b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，代入对应系数求解不等式，再结合k≠0的条件，即可得到k的取值范围。
【解析】
（1）将x=1代入方程$kx^2+(2k+3)x+k+1=0$，得：
$k×1^2 + (2k+3)×1 + k + 1 = 0$
整理得：$k + 2k + 3 + k + 1 = 0$
合并同类项：$4k + 4 = 0$
解得：$k = -1$
（2）
∵方程有两个不相等的实数根，
∴该方程为一元二次方程，即二次项系数$k≠0$，
且根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
其中$a=k$，$b=2k+3$，$c=k+1$，代入得：
$(2k+3)^2 - 4k(k+1) ＞ 0$
展开化简：$4k^2 + 12k + 9 - 4k^2 - 4k ＞ 0$
$8k + 9 ＞ 0$
解得：$k ＞ -\frac{9}{8}$
综上，k的取值范围为$k ＞ -\frac{9}{8}$且$k≠0$。
【答案】
(1) $k=-1$；(2) $k＞-\frac{9}{8}$且$k≠0$
【知识点】
方程根的定义，一元二次方程的定义，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的常规基础题，第一问直接考查根的定义的应用，代入求解即可；第二问的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，掌握根的判别式和根的数量的对应关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.75

【分析】
本题核心是利用配方法结合“平方数非负”的性质解题：
（1）第一问考查直接配方，根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，对二次项、一次项进行配方，拆分常数项即可得到结果；
（2）第二问先将等式移项，把含a、b的项分别配方，得到两个平方和为0的形式，利用非负数的性质求出a、b的值，再结合三角形三边关系以及c是最长边的条件，求出c的取值范围；
（3）第三问比较两个代数式大小，采用作差法，将两个代数式相减后配方，根据平方非负的性质判断差的正负，即可得到两者的大小关系。
【解析】
（1）对$x^2-6x+12$配方：
$x^2-6x+12 = x^2 - 6x + 9 + 3 = (x-3)^2 + 3$，故依次填3、3。
（2）先对等式$a^2 +b^2=10a +8b -41$移项整理：
$a^2 -10a + b^2 -8b +41 = 0$
分别对a、b的项配方：
$(a^2 -10a +25) + (b^2 -8b +16) = 0$
即$(a-5)^2 + (b-4)^2 = 0$
$\because (a-5)^2 ≥0$，$(b-4)^2 ≥0$
$\therefore a-5=0$，$b-4=0$，解得$a=5$，$b=4$
根据三角形三边关系，且c是最长边：
$\therefore c ≥ a=5$，且$c ＜ a+b=5+4=9$
即$5 ≤ c ＜9$。
（3）用作差法比较大小：
$x^2 +2y^2 - (2xy +4y -8)$
$=x^2 +2y^2 -2xy -4y +8$
$=(x^2 -2xy + y^2) + (y^2 -4y +4) +4$
$=(x-y)^2 + (y-2)^2 +4$
$\because (x-y)^2 ≥0$，$(y-2)^2 ≥0$
$\therefore (x-y)^2 + (y-2)^2 +4 ≥4 ＞0$
即$x^2 +2y^2 - (2xy +4y -8) ＞0$
$\therefore x^2 +2y^2 ＞ 2xy +4y -8$
【答案】
(1) 3，3；(2) $5≤ c＜9$；(3) $x^2 +2y^2 ＞ 2xy+4y-8$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题围绕配方法展开考查，将配方技巧与非负性、三角形三边关系等知识点结合，解题的核心是熟练掌握完全平方公式，能根据式子特征合理拆分配方，是代数基础应用的典型题型，能有效考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）首先判断33人符合超过30人的收费档位，先计算出33人对应的单人票价，再根据总购票费用=人数×单人票价计算即可；
（2）设员工人数为$x$人，已知$x＞30$，先根据“单价不低于28元”求出$x$的取值范围，再结合总费用为1200元列出一元二次方程，求解后舍去不符合取值范围的解即可得到答案。
【解析】
（1）解：
∵$33＞30$，符合超过30人的收费标准
∴单人票价为：$50 - 2×(33 - 30) = 44$（元/人）
总购票费用为：$33×44 = 1452$（元）
（2）解：设该公司观看此场演出的员工有$x$人，由题意得$x＞30$
先确定人数的取值范围：
∵单价不低于28元，
∴$50 - 2(x - 30) ≥ 28$，解得$x ≤ 41$，即$30＜x≤41$
根据总费用列方程：
$x[50 - 2(x - 30)] = 1200$
整理得：$x^2 - 55x + 600 = 0$
因式分解得：$(x - 15)(x - 40) = 0$
解得$x_1=15$，$x_2=40$
∵$30＜x≤41$，
∴$x=15$不符合题意，舍去，$x=40$符合要求。
【答案】
（1）1452元；（2）40人
【知识点】
分段计费问题，一元二次方程的应用，实际问题解的检验
【点评】
本题结合生活中的购票场景考查计费类问题，解题时要注意分段收费的规则，尤其求解后要结合实际限制条件对解进行验证，避免出现不符合题意的结果，锻炼了学生将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）先根据矩形性质得到AB边纵坐标为2，结合OD是直角∠AOC的角平分线，可推出△OAD为等腰直角三角形，求出D点坐标及OD的长度，再结合点P的运动速度即可计算t值。
（2）先根据P、Q的运动规律，用含t的代数式表示出P、Q的坐标，已知B点坐标为(6,2)，△PQB为直角三角形需分三类讨论：∠PQB为直角、∠PBQ为直角、∠QPB为直角，分别利用勾股定理列方程求解，舍去无意义的解即可得到结果。
【解析】
（1）
∵四边形OABC是矩形，$A(0,2)$，$C(6,0)$
∴$AB// x$轴，$OA=2$，$∠ AOC=90°$
∵OD平分$∠ AOC$，
∴$∠ AOD=45°$
在$Rt△ OAD$中，$∠ ADO=∠ AOD=45°$，
∴$AD=OA=2$
∴D点坐标为$(2,2)$，$OD=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
点P的运动速度为每秒$\sqrt{2}$个单位长度，因此$t=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$
（2）由题意得，t秒时：$P(t,t)$，$Q(2t,0)$，$B(6,2)$
计算三边平方：
$PQ^2=(2t-t)^2+(0-t)^2=2t^2$
$QB^2=(6-2t)^2+(2-0)^2=4t^2-24t+40$
$PB^2=(6-t)^2+(2-t)^2=2t^2-16t+40$
分三种情况讨论：
① 当$∠ PQB=90°$时，$PQ^2+QB^2=PB^2$
代入得：$2t^2+4t^2-24t+40=2t^2-16t+40$
化简解得$t=0$（舍去，无法构成三角形）或$t=2$
② 当$∠ PBQ=90°$时，$PB^2+QB^2=PQ^2$
代入得：$2t^2-16t+40+4t^2-24t+40=2t^2$
化简得$t^2-10t+20=0$，解得$t=5\pm\sqrt{5}$，均符合题意
③ 当$∠ QPB=90°$时，$PQ^2+PB^2=QB^2$
代入得：$2t^2+2t^2-16t+40=4t^2-24t+40$
化简解得$t=0$（舍去，无法构成三角形）
综上，$t=2$或$t=5\pm\sqrt{5}$时，$△ PQB$为直角三角形。
【答案】
(1) $t=2$；(2) $t=2$或$t=5\pm\sqrt{5}$
【知识点】
矩形的性质；角平分线的性质；直角三角形分类讨论
【点评】
本题是动点结合几何存在性的典型题型，解题核心是用参数表示动点坐标，再结合直角三角形的性质分类列方程求解，注意要舍去不符合实际意义的解，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6